Question

Около трапеции ABCD   с основанием  AD = 24  описана окружность. Касательная к окружности в точке A   пересекает прямые   BD  и   CD  в точках M   и    N соответственно.Найдите ND ,  если AB перпендикулярно  MD   и MD = 30 .

Answer 1

главное правильно начертить ( окружность , равнобокая трапеция АВСД, АД - диаметр, ВС в 3,5 раза меньше АД, касательная МА перпендикулярная АД , продлеваем ее до пересечения с СД в точке Н, получается два прямоугольных треугольника АНД и внутри него АМД, проводим МД через В). Дано АВ перпендикулярно АД, трапеция АВСД вписана в окружность, АД=24, МД=30, только равнобокую трапецию можно вписать в окружность, АВ=СД, уголА=уголД, уголАВД=90=1/2дугиАД, дугаАД=2*уголАВД=2*90=180, значит АД-диаметр, О-центр окружности, МА касательная, МД-секущая, АМ в квадрате=МВ*МД=30МВ, треугольник АМВ, АВ в квадрате=АМ в квадрате-МВ в квадрате=30МВ-МВ в квадрате, треугольник АВД, ВД=МД-МВ=30-МВ, АВ в квадрате=АД в квадрате-ВД в квадрате=576-900+60МВ-МВ в квадрате, 30МВ-МВ в квадрате=576-900+60МВ-МВ в квадрате, 30МВ=324, МВ=10,8, ВД=30-10,8=19,2, АМ в квадрате=30*10,8=324, АМ=18, АМ в квадрате+АД в квадрате=324+576=900= МД в квадрате,сумма квадратов двух катетов=квадрату гипотенузы, уголМАД=90, (можно проще, но это для того чтобы убедиться что касательная перпендикулярна диаметру)ВД/АД=sinA=19,2/24=0,8, cosA=корень(1-sinA в квадрате)=корень(1-0,64)=0,6=cosД, треугольник АНД прямоугольный, НД=АД/cosД=24/0,6=40