Question

a,b- неотрицательные числа. Докажите неравенство

Answer 1

Раскроем слева скобки: $a+b+a\sqrt{ab}+b\sqrt{ab}\geq 2\sqrt{ab}+a\sqrt{ab}+b\sqrt{ab}$ (по нер-ву между ср. а и ср. г). Далее то же неравенство: $2\sqrt{ab}+a\sqrt{ab}+b\sqrt{ab} = 2\sqrt{ab}\left(\dfrac{2+a+b}{2}\right)= 2\sqrt{ab}\left(\dfrac{(1+a)+(1+b)}{2}\right)\geq 2\sqrt{ab(1+a)(1+b)}$