Question

Очень нужно решить это уравнение. Прошу подробно расписать решение.

Answer 1

Решить систему уравнений х²+у=7 и х+у²=11 в целых числах.

Из уравнения х²+у=7 можно выразить у: у=7-х².

Из уравнения х+у²=11 можно выразить у²: у²=11-х.

Получается уравнение (7-х²)²=11-х. Решим его:

(7-х²)²=11-х,

49-14х²+х⁴=11-х,

х⁴-14х²+х+38=0.

Первый корень находим подбором среди делителей свободного члена (38): ±1, ±2, ±19, ±38.

Проверим корень -1: (-1)⁴-14*(-1)²-1+38=0;

1-14-1+38=38-14=14≠0 - не корень.

Проверим корень 1: 1⁴-14*1²+1+38=0;

1-14+39=26≠0 - не корень.

Проверим -2: (-2)⁴-14*(-2)²-2+38=0

16-56+36=-4≠0 - не корень.

Проверим 2: 2⁴-14*2²+2+38=0

16-56+40=0 - корень.

Итак, 2 является корнем уравнения х⁴-14х²+х+38=0.

Это значит, что уравнение х⁴-14х²+х+38=0 делится без остатка на х-2. В результате деления получаем х³+2х²-10х-19 (деление на картинке).

Теперь среди делителей свободного члена ищем корень кубического уравнения.

Если х=-1, тогда (-1)³+2*(-1)²-10*(-1)-19=-1+2+10-19=-8≠0.

Если х=1, тогда 1³+2*1²-10*1-19=1+2-10-19=3-29=-26.

Если х=-19, тогда (-19)³+2*(-19)²-10*(-19)-19=-6859+722+190-19=-5966≠0.

Если х=19, тогда 19³+2*19²-10*19-19=6859+722-190-19=7372≠0.

Получается, кубические уравнение х³+2х²-10х-19=0 не имеет корней в области действительных чисел.

Теперь подставим корень х=2 в уравнение у=7-х²: у=7-2²=7-4=3.

Ответ: (2; 3).