Question

Решите уравнение : .........................

Answer 1

Сначала приведем стандартное доказательство равносильности уравнений

f(f(x))=x и f(x)=x, если известно дополнительно, что f(x) - монотонно возрастающая функция (на самом деле доказательство проходит и в случае уравнений f(f(f(...(f(x))...)))=x и f(x)=x).

Если $f(x_0)=x_0,$ то $f(f(x_0))=f(x_0)=x_0,$ то есть все решения второго решения являются решениями первого.

Если $f(f(x_0))=x_0,$ то $f(x_0)=x_0.$ В самом деле, если $f(x_0)<x_0$ (или

$f(x_0)>x_0$), то $f(f(x_0))<f(x_0)<x_0$ (или соответственно

$f(f(x_0))>f(x_0)>x_0$). В этом месте доказательства мы и использовали монотонное возрастание функции. Поэтому все решения первого уравнения являются решениями второго. Итак, равносильность уравнений доказана.

Переходим к конкретному уравнению. Преобразуем его:

$x^3+24=(\sqrt[3]{x^5-24})^5;\ \sqrt[5]{x^3+24}=\sqrt[3]{x^5-24};\ (\sqrt[5]{x^3+24})^3+24=x^5;$

$\sqrt[5]{(\sqrt[5]{x^3+24})^3+24}=x.$

Если рассмотреть функцию $f(x)=\sqrt[5]{x^3+24},$ то уравнение может быть записано в виде f(f(x))=x, а поскольку функция f(x) монотонно возрастающая, уравнение равносильно уравнению f(x)=x, то есть$\sqrt[5]{x^3+24}=x;\ x^3+24=x^5;\ x^5-x^3-24=0.$ Чтобы было проще в дальнейшем, докажем, что это уравнение не имеет отрицательных корней. В самом деле, если x∈[-1;0], то "побеждает" 24. Иными словами, левая часть отрицательна, корней на этом отрезке быть не может. Если x∈(-∞;-1), то $|x^5|>|x^3|,$ и поэтому $x^5-x^3<0\Rightarrow x^5-x^3-24<0.$

Далее: угадываем корень x=2( искали естественно среди делителей свободного члена), делим многочлен на x-2 и получаем уравнение

$x^4+2x^3+3x^2+6x+12=0,$ которое не может иметь положительных корней в силу положительности всех коэффициентов, и не может иметь отрицательных корней, так как иначе исходное уравнение имело бы отрицательные корни, а мы доказали, что их нет.

Ответ: 2