Question

Незнайка выписал по кругу 11 натуральных чисел. Для каждых двух соседних чисел он посчитал их разность (из большего вычел меньшее). В результате среди найденных разностей оказалось четыре единицы, четыре двойки и три тройки. Докажите, что Незнайка где-то допустил ошибку.
Пожалуйста, если вы нашли ответ в интернете, распишите его подробно, потому что я не понял, спасибо

Answer 1

Рассмотрим произвольный набор целых неотрицательных чисел $a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}$. Заметим, что каков бы ни был набор $b_{1},b_{2},\ldots,b_{n}$, состоящий из нулей и единиц ($b_{j}\in \{0,1\}$), сумма $(-1)^{b_{1}}a_{1}+\ldots+(-1)^{b_{j}}a_{j}+\ldots+(-1)^{b_{n}}a_{n}$ имеет одну и ту же четность. Иными словами, если в некоторой сумме поменять знаки нескольких слагаемых, четность суммы от этого не поменяется.

Пойдем по кругу по часовой стрелке и будем складывать разности, причем вычитать будем из следующего (по часовой стрелке) числа. Поскольку мы начали и закончили одним и тем же числом, то итоговая сумма равна нулю. Теперь, если в этой сумме поменять знак отрицательных разностей, то получим сумму модулей из условия. Из замечания в начале следует, что эта сумма четна (поскольку первая сумма равна нулю), однако она равна 4*1+4*2+3*3 - число нечетное, противоречие.