Question

$cos\sqrt{a^2-x^2} =1$
при каких a уравнение имеет ровно 8 корней

Answer 1

Ответ:

$a\in(-8\pi,6\pi)\cup(6\pi,8\pi)$

Объяснение:

Все ненулевые решения разбиваются на пары $x, -x$. Чтобы у уравнения было 8 корней, у него должно быть ровно 4 положительных корня, и 0 не должен являться корнем. Дальше будем думать только о неотрицательных корнях.

Уравнение с косинусом легко решается:

$\cos\sqrt{a^2-x^2}=1\Leftrightarrow \sqrt{a^2-x^2}=2\pi n,\; n\in\mathbb Z$

$f(x)=\sqrt{a^2-x^2}$ — функция, которая убывает от $x = 0$ до $x = |a|$, принимая все значения от $|a|$ до 0.

Значит, чтобы условие было выполнено, в промежуток $[0, |a|)$ должны попасть ровно 4 числа вида $2\pi n$. Понятно, что в промежуток попадут 0, 2π, 4π, 6π — и не попадут 8π и т.д.

Условие этого:

$6\pi<|a|\leqslant 8\pi\\a\in[-8\pi,6\pi)\cup(6\pi,8\pi]$

При этом $x=0$ не должен быть решением, поэтому $a\ne 2\pi n$, $n\in\mathbb Z$. Это удалит из решения $-8\pi$ и $8\pi$.