Question

Пусть неправильная дробь p/q несократима. Может ли оказаться сократимой правильная дробь - дробная часть полученной из неё смешанной дроби?
Как доказать? Спасибо.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

1) способ

Алгоритм Евклида.

Пусть a = b⋅q + r, тогда НОД (a, b) = НОД (b, r)

Из чего вытекает несократимость дробной части

2) способ

Предположим, дробная часть a/b- сокращается в отличии от неправильной дроби (bc+a)/b где целая часть это число с

a/b- сокращается⇒НОД(a; b)=k>1, числа a и b делятся на число k

a=nk, b=mk⇒bc+a=cmk+nk=k(cm+n)⇒НОД(bc+a; b)≥k>1

То есть неправильная дробь тоже сократима.

Пришли к противоречию. Значит, наше предположение было неверным.

Answer 2

Ответ:

Нет

Пошаговое объяснение:

Так как дробь неправильная, то $p\geq q$.

Тогда пусть $p=n\cdot q+d;n\in Z,0\leq d<q$ [очевидно, такое представление существует: $d$ - это остаток, а $n$ - частное от деления с остатком $p$ на $q$]

Тогда $\dfrac{p}{q}=n+\dfrac{d}{q}$

Очевидно, $0\leq \dfrac{d}{q} <1$, а значит $\dfrac{d}{q}$ - рассматриваемая дробная часть.

Пусть d и q имеют общий простой множитель s, т.е. дробь сократима. Но тогда $n\cdot q$ также делится на s - а значит и $p=n\cdot q+d$ делится на s, то есть исходная дробь  $\dfrac{p}{q}$ сократима - противоречие с условием.

Значит, рассматриваемая дробная часть несократима