Question

Помогите решить задачу по кинематике:
Из города А выехали с одинаковыми скоростями два автомобиля, второй через 12 минут после первого. Они поочередно, с интервалом в 14 минут, обогнали одного и того же велосипедиста. Во сколько раз скорость автомобилей больше скорости велосипедиста?
(Кирик - с/р и к/р, 9 класс)

Answer 1

Дано:

• v₁ = v = v₂;
• Tb₂ - Tb₁ = 12 мин = Тd;
• Ti = 14 мин.

Найти:

• v / vc.

Решение:

1) Пусть Tb₁ & Тb₂ - времена, в которые начались движения автомобиля №1 и автомобиля №2; Ti - время, которое показывает, сколько потребовалось автомобилю №2, чтобы также обойти велосипедиста, как автомобилю №1; Td - разница между временами выезда автомобилей из города А; v - скорость обоих автомобилей, а vc - скорость велосипедиста.

Введём новую переменную - T - момент времени, в который автомобиль №1 обогнал велосипедиста - и координатную ось ОW, вдоль которой двигаются тела.

2) Рассмотрим движение в момент времени T:

Координата W₁ автомобиля №1 и Wв велосипедиста совпадают, а автомобиль №2 отстаёт от них, будучи на координате W₂ ⇒ расстояние между автомобилем №1 и автомобилем №2 в момент времени T равно разнице координат W₁ и W₂.

3) По условию задачи автомобиль №2 догнал велосипедиста спустя Тi времени, после того как автомобиль №1 догнал его ⇒

⇒ Тi = (W₁ - W₂) / vотн, где vотн - скорость сближения велосипедиста и автомобиля №2 ⇒ Тi = (W₁ - W₂) / (v - vc).

4) Вспомним решение основной задачи механики для РПД:

x(t) = x₀ + v · t ⇒ W(t) = w₀ + vw · t.

Пусть время выезда автомобиля №1 Tb₁ и его начальная координата

W₀₁ равны нулю ⇒ W₁ = v · T.                                                                          (1)

Для автомобиля №2 подход другой - хоть он тоже вышел из города А, но на Td времени позже; а так как Tb₁ = 0, то Tb₂ < 0. Однако работать с отрицательным временем неудобно, поэтому будем считать, что начальная координата автомобиля №2 W₀₂ < 0, а по модулю равна тому отрезку пути, на прохождение которого бы у автомобиля №2 ушло Td времени ⇒ W₀₂ = -v · Td ⇒ W₂ = v · T - v · Td.                                (2)

5) Из уравнений (1) и (2) следует, что W₁ - W₂ = v · Td  ⇒

⇒ Ti = v · Td / (v - vc)

$Ti = \frac{v * Td}{v - vc}$

По принципу пропорции получаем:

$v - vc = \frac{v*Td}{Ti}$

Поделим обе части уравнений на v, перенесём все переменные, обозначающие скорость, вправо, а время - влево, приведём к общему знаменателю нужное:

$1 - \frac{vc}{v} = \frac{Td}{Ti}$

$1 - \frac{Td}{Ti} = \frac{vc}{v}$

$\frac{Ti - Td}{Ti} = \frac{vc}{v}$

Теперь "перевернём" дроби, которые находятся в обеих частях уравнения(то есть возведём их в -1 степень):

$\frac{Ti}{Ti-Td} = \frac{v}{vc}$

Ti / (Ti - Td) = v / vc - это итоговая формула!

Проверим:

14 мин / (14 мин - 12 мин) = v / vc

14 мин / 2 мин = v / vc

7 = v / vc - сходится с ответом в задачнике.

Ответ: скорость автомобилей больше скорости велосипедиста в 7 раз.