Question

Помогите пожалуйста решить!!!​

Answer 1

Ответ:

11

Объяснение:

$\lim\limits_{x \to 0^+} \left( x^x+(2x)^{2x}+(3x)^{3x}+...+(11x)^{11x} \right)= \lim\limits_{x \to 0^+} x^{x}+\lim\limits_{x \to 0^+} (2x)^{2x}+ \\ \\ +\lim\limits_{x \to 0^+} (3x)^{3x}+...+\lim\limits_{x \to 0^+} (11x)^{11x}=1+1+1+...+1=11$

Докажем в общем виде, что

$\lim\limits_{x \to 0^+} (nx)^{nx}=1, \ n>0$

Пусть y=(nx)ⁿˣ, тогда найдем следующий предел:

$\lim\limits_{x \to 0^+} \ln y = \lim\limits_{x \to 0^+} \ln (nx)^{nx} = \lim\limits_{x \to 0^+}( nx\ln (nx)) =0*\ln0^+=[0*\infty] =\\ \\ = n\lim\limits_{x \to 0^+}\frac{\ln (nx)}{\frac{1}{x} }=\left[\frac{\infty}{\infty} \right]=n\lim\limits_{x \to 0^+}\frac{(\ln (nx))'}{(\frac{1}{x})' }=n\lim\limits_{x \to 0^+}\frac{\frac{n}{nx} }{-\frac{1}{x^2} }=-n\lim\limits_{x \to 0^+}x=\\ \\ =-n*0^+=0$

значит

$\lim\limits_{x \to 0^+}\ln y=0 \\ \\ \ln \lim\limits_{x \to 0^+}y=0 \\ \\ \lim\limits_{x \to 0^+}y=e^0=1 \ \Rightarrow \ \lim\limits_{x \to 0^+} (nx)^{nx} =1$ - ч.т.д.