Помогите пожалуйста, срочно надо с решением
Ответы
Ответ:
a = 7
Пошаговое объяснение:
|x^2 - 8|x| + 7| = a
Уравнение с модулями распадается на 4 уравнения:
-(x^2 + 8x + 7) = a, при x < 0 и x^2 + 8x + 7 < 0
x^2 + 8x + 7 = a, при x < 0 и x^2 + 8x + 7 ≥ 0
-(x^2 - 8x + 7) = a, при x ≥ 0 и x^2 - 8x + 7 < 0
x^2 - 8x + 7 = a, при x ≥ 0 и x^2 - 8x + 7 ≥ 0
Решаем каждое из этих уравнений.
Заметим, что квадратное уравнение имеет не больше 2 корней, поэтому а может принимать целое значение от 0 до 8.
1) -x^2 - 8x - 7 - a = 0
x^2 + 8x + (7+a) = 0
D = 8^2 - 4(7+a) = 64 - 28 - 4a = 36 - 4a = 4(9-a) > 0 при а € [0; 8]
Но корни должны удовлетворять условиям: x < 0 и x^2 + 8x + 7 < 0
x1 = (-8 - 2√(9-a))/2 = -4 - √(9-a) < 0
4 + √(9-a) > 0 при любом а, потому что корень арифметический.
(-4 - √(9-a))^2 + 8(-4 -√(9-a)) + 7 = 16 + 8√(9-a) + 9 - a - 32 - 8√(9-a) + 7 =
= 16 + 9 - a - 32 + 7 = - a < 0 при a > 0
a € [1; 8] Удовлетворяет обоим условиям.
x2 = (-8 + 2√(9-a))/2 = -4 + √(9-a) < 0
√(9-a) < 4
9 - a < 16
a > -7; это верно при а € [0; 8]
(-4 +√(9-a))^2 + 8(-4 + √(9-a)) + 7 = 16 - 8√(9-a) + 9 - a - 32 + 8√(9-a) + 7 =
= 16 + 9 - a - 32 + 7 = -a < 0 при a > 0
a € [1; 8] Удовлетворяет обоим условиям.
2) x^2 + 8x + (7-a) = 0
D = 8^2 - 4(7-a) = 64 - 28 + 4a = 36 + 4a = 4(9+a) > 0 при а € [0; 8]
Это уравнение тоже имеет 2 корня при а € [0; 8]
Проверяем условия: x < 0 и x^2 + 8x + 7 ≥ 0
x3 = (-8 - 2√(9+a))/2 = -4 - √(9+a) < 0
4 + √(9+a) > 0 при любом а.
(-4 - √(9+a))^2 + 8(-4 -√(9+a)) + 7 = 16 + 8√(9+a) + 9 + a - 32 - 8√(9+a) + 7 =
= 16 + 9 + a - 32 + 7 = a ≥ 0 при а € [0; 8]
a € [0; 8] Удовлетворяет обоим условиям.
x4 = (-8 + 2√(9+a))/2 = -4 + √(9+a) < 0
√(9+a) < 4
9 + a < 16
a < 7; это верно при а € [0; 6]
(-4 + √(9+a))^2 + 8(-4 + √(9+a)) + 7 = 16 - 8√(9+a) + 9 + a - 32 + 8√(9+a) + 7 =
= 16 + 9 + a - 32 + 7 = a ≥ 0 при а € [0; 8]
a € [0; 6] Удовлетворяет обоим условиям.
3) -x^2 + 8x - 7 - a = 0
x^2 - 8x + (7+a) = 0
D = (-8)^2 - 4(7+a) = 64 - 28 - 4a = 36 - 4a = 4(9-a) > 0 при а € [0; 8]
Тоже, как и в 1) номере, 2 корня при а € [0; 8]
Проверяем условия: x ≥ 0 и x^2 - 8x + 7 < 0
x5 = (8 - 2√(9-a))/2 = 4 - √(9-a) ≥ 0
√(9-a) ≤ 4
9 - a ≤ 16
a ≥ -7; это верно при а € [0; 8]
(4 - √(9-a))^2 - 8(4 - √(9-a)) + 7 = 16 - 8√(9-a) + 9 - a - 32 + 8√(9-a) + 7 =
= 16 + 9 - a - 32 + 7 = -a < 0 при а € [1; 8]
a € [1; 8] Удовлетворяет обоим условиям.
x6 = (8 + 2√(9-a))/2 = 4 + √(9-a) ≥ 0 при любом а.
(4 + √(9-a))^2 - 8(4 + √(9-a)) + 7 = 16 + 8√(9-a) + 9 - a - 32 - 8√(9-a) + 7 =
= 16 + 9 - a - 32 + 7 = -a < 0 при а € [1; 8]
a € [1; 8] Удовлетворяет обоим условиям.
4) x^2 - 8x + (7-a) = 0
D = (-8)^2 - 4(7-a) = 64 - 28 + 4a = 36 + 4a = 4(9+a) > 0 при а € [0; 8]
Тоже, как во 2 номере, 2 корня при а € [0; 8]
Проверяем условия: x ≥ 0 и x^2 - 8x + 7 ≥ 0
x7 = (8 - 2√(9+a))/2 = 4 - √(9+a) ≥ 0
√(9+a) ≤ 4
9 + a ≤ 16
a ≤ 7; это верно при a € [0; 7]
(4 - √(9+a))^2 - 8(4 - √(9+a)) + 7 = 16 - 8√(9+a) + 9 + a - 32 + 8√(9+a) + 7 =
= 16 + 9 + a - 32 + 7 = a ≥ 0 при a € [0; 7]
a € [0; 7] Удовлетворяет обоим условиям.
x8 = (8 + 2√(9+a))/2 = 4 + √(9+a) ≥ 0 при любом а.
(4 + √(9+a))^2 - 8(4 + √(9+a)) + 7 = 16 + 8√(9+a) + 9 + a - 32 - 8√(9+a) + 7 =
= 16 + 9 + a - 32 + 7 = a ≥ 0 при а € [0; 8]
a € [0; 8] Удовлетворяет обоим условиям.
Вывод.
Условие для x1: a € [1; 8]
Условие для x2: a € [1; 8]
Условие для x3: a € [0; 8]
Условие для x4: a € [0; 6]
Условие для x5: a € [1; 8]
Условие для x6: a € [1; 8]
Условие для x7: a € [0; 7]
Условие для x8: a € [0; 8]
В итоге только при а = 7 будет ровно 7 корней: все, кроме x4.