Question

Представьте выражение (см. вложение) в виде a+b*tg(x+ф), где a, b,ф - фиксированные числа.​

Answer 1

Ответ:

$a=\dfrac15,\; b=\dfrac25,\; \varphi=\mathop{\mathrm{arctg}}\dfrac34$

Объяснение:

$a+b\mathop{\mathrm{tg}}(x+\varphi)=a+b\dfrac{\sin(x+\varphi)}{\cos(x+\varphi)}=\dfrac{a\cos(x+\varphi)+b\sin(x+\varphi)}{\cos(x+\varphi)}=\\=\dfrac{au\cos(x+\varphi)+bu\sin(x+\varphi)}{u\cos(x+\varphi)}$

В знаменателе с точностью до какого-то коэффициента u должен стоять косинус суммы:

$u\cos(x+\varphi)=u\cos x\cos\varphi-u\sin x\sin\varphi\equiv4\cos x-3\sin x$

$u\cos\varphi=4,\; u\sin\varphi=3$

$u^2=u^2\sin^2\varphi+u^2\cos^2\varphi=3^2+4^2=5^5\\\mathop{\mathrm{tg}}\varphi=\dfrac{u\sin\varphi}{u\cos\varphi}=\dfrac34$

u можно взять положительным, тогда u = 5; $\sin\varphi=3/5$, $\cos\varphi=4/5$. Можно было бы взять и отрицательным, при этом были бы другие знаки у синуса и косинуса.

φ тоже можно взять любым, лишь бы у синуса и косинуса были нужные знаки (если u > 0, и то и то будет положительным) и тангенс был равен найденному значению. Я возьму $\varphi=\mathop{\mathrm{arctg}}(3/4)$, это угол первой четверти.

В числителе должно стоять

$au\cos(x+\varphi)+bu\sin(x+\varphi)=a(4\cos x-3\sin x)+\\+b(\sin x\cdot u\cos\varphi+\cos x\cdot u\sin\varphi)=a(4\cos x-3\sin x)+\\+b(4\sin x+3\cos x)=(4b-3a)\sin x+(3b+4a)\cos x\equiv \sin x+2\cos x$

Приравниваем коэффициенты и решаем получившуюся систему:

$\begin{cases}4b-3a=1\\3b+4a=2\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}a=1/5\\b=2/5\end{cases}$