Question

Найдите наибольшее целое решение неравенства:
$log\frac{1}{3} (x+3)\ \textgreater \ log\frac{1}{9}(x+15)$

Answer 1

Задание. Найдите наибольшее целое решение неравенства: $\log_{\tfrac{1}{3} }(x+3) > \log_{\tfrac{1}{9} }(x+15).$

Решение. Выпишем ограничения логарифмов:

$\displaystyle \left \{ {{x + 3 > 0, ~} \atop {x + 15 > 0;}} \right. ~~~~~~ \left \{ {{x > -3, ~} \atop {x > -15;}} \right. ~~~~~x > -3.$

По свойству логарифма $\log_{a^{p}}b = \dfrac{1}{p} \log_{a}b$ имеем:

$\log_{\tfrac{1}{3} }(x+3) > \log_{\left(\tfrac{1}{3}\right)^{2} }(x+15);$

$\log_{\tfrac{1}{3} }(x+3) > \dfrac{1}{2} \log_{\tfrac{1}{3}}(x+15).$

По свойству логарифма $p \log_{a}b = \log_{a}b^{p}$ имеем:

$\log_{\tfrac{1}{3} }(x+3) > \log_{\tfrac{1}{3}}(x+15)^{\tfrac{1}{2} }.$

По свойству степеней $a^{\tfrac{m}{n} } = \sqrt[n]{a^{m}}$ имеем:

$\log_{\tfrac{1}{3} }(x+3) > \log_{\tfrac{1}{3}}\sqrt{x+15}}.$

Поскольку основание логарифма $0 < \dfrac{1}{3} < 1,$ при переходе к подлогарифмическим выражениям знак неравенства должен изменится на противоположный:

$x + 3 < \sqrt{x+15};$

$\sqrt{x+15} > x+3.$

Неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$ равносильно $\displaystyle \left [ {{\displaystyle \left \{ {{g(x) \geq 0, ~~~~~ } \atop {f(x) > g^{2}(x),}} \right. } \atop {\displaystyle \left \{ {{g(x) < 0,} \atop {f(x) \geq 0.}} \right.~~~~~} \right.$

Имеем:

$\displaystyle \left [ {{\displaystyle \left \{ {{x+3 \geq 0, ~~~~~~~~~~ } \atop {x+15 > (x+3)^{2},}} \right. } \atop {\displaystyle \left \{ {{x+3 < 0,~} \atop {x+15 \geq 0,}} \right.~~~~~~~~~} \right.$

$\displaystyle \left [ {{\displaystyle \left \{ {{x \geq -3, ~~~~~ } \atop {-6<x<1,}} \right. } \atop {\displaystyle \left \{ {{x < -3,~} \atop {x \geq -15,}} \right.~~~~~} \right.$

$\displaystyle \left [ {{x \in [-3; ~ 1), ~} \atop {x \in [-15; ~ 3),}} \right.$

$x \in [-15; ~ 1).$

Учитывая ограничения $x > -3$ получаем решение: $x \in (-3; ~1).$

Наибольшим целым решением данного неравенства является число 0.

Ответ: 0.