Question

двойной интеграл Помогите пожалуйста ​

Answer 1

$\displaystyle\iint\limits_{(D)}\:\mathrm{arctg}\:\dfrac{y}{x}\,dx\,dy,\quad (D):x^2+y^2\leq 1$

Произведём полярную замену: область $(D)$ перейдёт в соответствующую ей область $(\Omega)$.

$\left\{\begin{array}{@{}l@{}}x=r\cos\varphi,\\[5pt]y=r\sin\varphi\end{array}\right.\implies \begin{aligned}[t] |I|=\left|\begin{vmatrix}\dfrac{\partial x}{\partial r}&\dfrac{\partial x}{\partial\varphi}\\[10pt] \dfrac{\partial y}{\partial r}&\dfrac{\partial y}{\partial\varphi}\end{vmatrix}\right|&=\left|\begin{vmatrix}\cos\varphi&-r\sin\varphi\\[10pt]\sin\varphi&r\cos\varphi\end{vmatrix}\right|=\\&=\left|r\cos^2\varphi+r\sin^2\varphi\right|=\\[5pt]&=\left|r\right|=r\end{aligned}$

Подынтегральная функция $\mathrm{arctg}\,\dfrac{y}{x}=\mathrm{arctg}\left(\mathrm{tg}\,\varphi\right)$ принимает значения в промежутке $\bigg({-\dfrac{\pi}{2}};\;\dfrac{\pi}{2}\bigg)$. Поскольку область $(\Omega)$ представляет собой прямоугольник (в полярных координатах!), например, $\left\{\begin{array}{@{}l@{}}0\leq r\leq 1,\\[10pt]-\dfrac{\pi}{2}\leq\varphi\leq\dfrac{3\pi}{2}\end{array}\right.$, то подынтегральную функцию, а вместе с ней и сам интеграл, можно разбить на два: $\mathrm{arctg}\left(\mathrm{tg}\,\varphi\right)=\begin{cases}\varphi, &{-\dfrac{\pi}{2}}<\varphi<\dfrac{\pi}{2}\\[10pt]\varphi-\pi,&\phantom{-}\dfrac{\pi}{2}<\varphi<\dfrac{3\pi}{2}\end{cases}$.

Итого,

$\begin{aligned}[t]\displaystyle\iint\limits_{(D)}\:\mathrm{arctg}\:\dfrac{y}{x}\,dx\,dy &=\iint\limits_{(\Omega)}\,\mathrm{arctg}\left(\mathrm{tg}\,\varphi\right)r\,dr\,d\varphi=\\ &=\int\limits_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}}\varphi\,d\varphi\int\limits_{0}^{1}r\,dr+\int\limits_{\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{3\pi}{2}}(\varphi-\pi)\,d\varphi\int\limits_{0}^{1}r\,dr=\\&=2\cdot\dfrac{\varphi^2}{2}\Bigg|_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}}\cdot\dfrac{r^2}{2}\Bigg|_{0}^{1}=\\&=0\end{aligned}$

Ответ. $0$

Answer 2

Ответ:

0

Объяснение:

Решение на скриншоте..............