Question

Вычислить сумму ряда ​

Answer 1

Ответ:

1/2

Объяснение:

Попробуем разложить знаменатель на множители:

25n^2 - 5n - 6 = 0

D = 25 - 4*25*(-6) = 25 + 600 = 625 = 25^2

n1 = (5 - 25)/50 = -20/50 = -2/5

n2 = (5 + 25)/50 = 30/50 = 3/5

25n^2 - 5n - 6 = (5n + 2)(5n - 3)

Предположим, что дробь является суммой дробей:

$\frac{5}{25n^2-5n-6}=\frac{A}{5n+2} + \frac{B}{5n-3}$

Вычислим А и В:

$\frac{A}{5n+2} + \frac{B}{5n-3}=\frac{A(5n-3)+B(5n+2)}{(5n+2)(5n-3)} =\frac{5An-3A+5Bn+2B}{(5n+2)(5n-3)} =\frac{5n(A+B)+(2B-3A)}{(5n+2)(5n-3)}$

Знаменатели равны, значит, числители тоже равны. Система:

{ A + B = 0

{ 2B - 3A = 5

Решаем подстановкой:

{ A = -B

{ 2B + 3B = 5

B = 1, A = -1

Получили такую разность:

$\frac{5}{25n^2-5n-6}=\frac{1}{5n-3} - \frac{1}{5n+2}$

Подставляем эту разность в нашу формулу ряда:

$(\frac{1}{5*1-3} - \frac{1}{5*1+2}) + (\frac{1}{5*2-3} - \frac{1}{5*2+2})+(\frac{1}{5*3-3} - \frac{1}{5*3+2})+...=\\ =\frac{1}{2}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{12}+\frac{1}{12} -\frac{1}{17} +...=\frac{1}{2}+(\frac{1}{7}-\frac{1}{7})+(\frac{1}{12}-\frac{1}{12}) +(\frac{1}{17}-\frac{1}{17}) +...$

Все дроби после 1/2 сокращаются, и это продолжается бесконечно. Поэтому от всего ряда остается только первый член: 1/2