Question

ПРОШУ ОЧЕНЬ СРОЧНО!!!!!
В прямой треугольной призме MKNM1K1N1 треугольник MKN - равнобедренный прямоугольный, у которого угол NKM = 90 градусов. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если NN1 =3NK и площадь боковой поверхности пирамиды KMNK1 равна 3,5 см квадратных

Answer 1

Ответ:

Площадь боковой поверхности призмы $\dfrac{309 + 154,5\sqrt{3} - 6\sqrt{888,25} + 3\sqrt{2664,75} }{36}$ сантиметров квадратных

Объяснение:

Дано: $MKNM_{1}K_{1}N_{1}$ - прямая треугольная призма, ∠NKM = 90°, KN =  =KM, $NN_{1} = 3NK$, $KMNK_{1}$ - пирамида ,$S_{l} = 3,5$ сантиметров квадратных

Найти: $S_{p}$ - ?

Решение: Рассмотрим треугольник ΔNKM. Проведем высоту к стороне NM в точку H. Проведем отрезок $K_{1}H$. По теореме о трех перпендикулярах, так как KH ⊥ NM по построению и $K_{1}K$⊥ KH, то

$K_{1}H$ ⊥ NM.

По формуле площади прямоугольного треугольника ΔMNK(по условию ∠NKM = 90° и KN = KM) $S_{\bigtriangleup MNK} = NK * MK *0,5 = 0,5NK^{2}$. Так как по условию $MKNM_{1}K_{1}N_{1}$ - прямая треугольная призма, то четырехугольники $NN_{1}K_{1}K$ и $MM_{1}K_{1}K$ - прямоугольники, тогда по свойству прямоугольников их противоположные стороны равны, а так как по условию KN = KM и сторона $KK_{1}$ - общая, то прямоугольник  

KH ⊥ NM. Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник ΔKNM(по условию KN = NM, ∠NKM = 90°):$\sin \angle KNM = \frac{HK}{NK} \Longrightarrow HK =NK* \sin \angle KNM = NK * \sin 45^{\circ} = \dfrac{NK\sqrt{2} }{2}$.

Рассмотрим прямоугольный($KK_{1}$ ⊥ MNK по условию) треугольник

Δ$K_{1}KH$. $\text{ctg} \angle K_{1}HK = \dfrac{KH}{KK_{1}} = \dfrac{\dfrac{NK\sqrt{2} }{2} }{\frac{3NK}{1} } = \dfrac{NK\sqrt{2} }{6NK} = \dfrac{\sqrt{2} }{6}$.

По следствию из основного тригонометрического тождества

$\sin \angle K_{1}HK = \sqrt{\dfrac{1}{1 + \text{ctg}^{2} \angle K_{1}HK} } = \sqrt{\dfrac{1}{1 + (\dfrac{\sqrt{2} }{6} )^{2} } } = \sqrt{\dfrac{\dfrac{1}{1} }{1 +\dfrac{2}{36} } } =$

$\sqrt{\dfrac{\dfrac{1}{1} }{1 +\dfrac{1}{18} } } = \sqrt{\dfrac{\dfrac{1}{1} }{\dfrac{18}{18} +\dfrac{1}{18} } } = \sqrt{\dfrac{\dfrac{1}{1} }{\dfrac{19}{18} } } = \sqrt{\dfrac{18}{19} }$.

Прямоугольный треугольник Δ$NKK_{1}$ = Δ$MKK_{1}$ по двум катетам, так как $KK_{1}$ - общая, MK = KM по условию, так как треугольники равны, то их площади равны. $S_{\bigtriangleup NKK_{1}} = S_{\bigtriangleup MKK_{1}} = NK * KK_{1} *0,5 = NK * NN_{1} * 0,5 = NK * 3 NK *0,5=$

$= 1,5NK^{2}$. $S_{l} = S_{\bigtriangleup NKK_{1}} + S_{\bigtriangleup MKK_{1}} + S_{\bigtriangleup MNK_{1}} \Longrightarrow S_{\bigtriangleup MNK_{1}} = S_{l} - S_{\bigtriangleup NKK_{1}} + S_{\bigtriangleup MKK_{1}} =$

$= 3,5 - 1,5NK^{2} - 1,5NK^{2} = 3,5 - 3NK^{2}$. Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник ΔKNM. Так как KH - высота проведенная к основанию равнобедренного треугольника, то по теореме KH является биссектрисой и медианой, тогда NM = 2NH = MH = $= 2 *\dfrac{NK\sqrt{2} }{2} = NK\sqrt{2}$. Пусть объем пирамиды $KMNK_{1}$ равен V.

$V = \dfrac{S_{\bigtriangleup NKM} * KK_{1}}{3} = \dfrac{0,5NK^{2} * 3NK}{3} = 0,5NK^{3}$.

$V = \dfrac{2*S_{\bigtriangleup NKM} * S_{\bigtriangleup NMK_{1}} * \sin\angle K_{1}HK}{3NM} = \dfrac{2 * 0,5NK^{2} * (3,5 - 3NK^{2})*\sqrt{\dfrac{18}{19} } }{3\sqrt{2} NK}=$

$=\dfrac{NK(3,5 -3NK^{2})* \sqrt{18} }{\sqrt{19} * 3\sqrt{2} } =\dfrac{NK(3,5 -3NK^{2})* \sqrt{18} }{\sqrt{19} * \sqrt{18} } = \dfrac{NK(3,5 -3NK^{2}) }{\sqrt{19} } .$

$\dfrac{0,5NK^{3}}{1} =\dfrac{NK(3,5 -3NK^{2}) }{\sqrt{19} }|*\dfrac{\sqrt{19} }{NK}$. (NK > 0 как сторона призмы)

$NK *0,5\sqrt{19} = 3,5 - 3NK^{2}$

$3NK^{2} + NK *0,5\sqrt{19} - 3,5 = 0$

$D = (0,5\sqrt{19} )^{2} - 4 * 3 * (-3,5) = 4,75 + 42 = 46,75$

Квадратное уравнение будет иметь только один корень, который удовлетворяет условию NK > 0.

$NK = \dfrac{-0,5\sqrt{19} +\sqrt{46,75} }{2 * 3} = \dfrac{\sqrt{46,75}-0,5\sqrt{19} }{6}$ см.

Площадь боковой поверхности призмы:

$S_{p} = S_{NN_{1}K_{1}K} + S_{MM_{1}K_{1}K} + S_{NN_{1}M_{1}M} = 2S_{NN_{1}K_{1}K} + S_{NN_{1}M_{1}M} =$

$= 2 * NK * KK_{1} + NM * NN_{1} = 2 * NK * 3NK+ NK\sqrt{2} * 3NK = NK^{2}(6 + 3\sqrt{2} )=$

$=(\dfrac{\sqrt{46,75}-0,5\sqrt{19} }{6})^{2}*(6 + 3\sqrt{2} ) = \dfrac{(\sqrt{46,75}-0,5\sqrt{19} )^{2}(6 + 3\sqrt{3} )}{36} =$

$=\dfrac{(46,75 + 4,75 - \sqrt{888,25} )(6 + 3\sqrt{3} )}{36} = \dfrac{(51,5 - \sqrt{888,25} )(6 + 3\sqrt{3} )}{36} =$

$=\dfrac{309 + 154,5\sqrt{3} - 6\sqrt{888,25} + 3\sqrt{2664,75} }{36}$ сантиметров квадратных.