Question

В трапецию вписано круг радиусом 4 см, острой угол равен 30* найдите площадь, дам 50 баллов

Answer 1

Ответ:

S = 64 см²

Объяснение:

r = 4 см

$\alpha$ = 30$sin30^o = \frac{AH1}{AD}$

S - ?

=============

Должно выполняться условие, что суммы противоположных сторон четырехугольника равны - только тогда получиться вписать в него окружность.

Распишем это условие: $AB + DC = AD + BC$ ⇔ $2a = b+c$. где a - боковые стороны, b и c - основы.

Сделаем вывод, что трапеция являеться равнобедренной.

Формула для нахождения площади через среднюю линию и высоту трапеции: $h=\frac{S}{m}=\frac{2S}{b+c}$ ⇔ $2S = h*(b+c); S=\frac{h*(b+c)}{2}$, где S - площадь трапеции, m - средняя линия трапеции, h - ее высота. $m = \frac{b+c}{2}$, b и c - основы трапеции.

Зная радиус вписаной окружности, мы знаем высоту трапеции: $2*r=h$ ⇔ $2*4=8=h$.

Соответственно, из прямоугольного треугольника ADH1 найдём боковую сторону трапеции с помощью соотношений: $sin30^o=\frac{AH1}{AD}$ ⇒ $AD = \frac{AH1}{sin30^o}=\frac{8}{\frac{1}{2} } = 8*2=16$ см - боковая сторона трапеции.

Если $2a=b+c$, то зная а = 8, можем найти среднюю линию, а соответственно и площадь. $b+c=2a=2*8=16$ см.

Просто подставляем в формулу площади: $S = \frac{h*(b+c)}{2} = \frac{8*16}{2} = 4*16=64$ см².