Question

Сколько действительных решений имеет система уравнений x**2+y**2=2, y**4-cos(x)=0

Answer 1

Ответ:

4

Пошаговое объяснение:

x^2 + y^2 = 2 - это окружность с радиусом sqrt(2).

y^4 = cos(x).

Покажем симметричность графиков. Для первого графика это очевидно, т.к. это уравнение окружности. Для второго графика симметричность относительно оси Ox очевидна: (-y)^4 = y^4. По свойству косинуса: cos(x) = cos(-x), откуда следует симметрия и относительно оси Oy. По этому достаточно рассмотреть поведение функций в первой четверти и умножить получившееся число корней на 4.

Далее найдём производные от обеих функций. для первой: 2xdx + 2ydy = 0 => dy/dx = -x/y. При положительных y и x (в первой четверти) производная не меняет знака. Для второй функции то же самое: 4y^3dy = -sin(x)dx => dy/dx = -sin(x)/4y^3. Опять же, в первой четверти, при 0 < x < sqrt(2) < pi синус в числителе не меняет знака, а y^3 и подавно.

Если одна функция в ноле больше другой, а при x = sqrt(2) наоборот, то в силу непрерывности функций, и в силу того, что их производные не меняют знака на данном промежутке, они должны пересекаться в одной точке. Проверяем первое условие: sqrt(2) ~= 1.41 < pi/2, cos(sqrt(2)) > 0.

При x = 0: y1 = sqrt(2), y2 = 1.   y1 > y2

При x = sqrt(2): y1 = 0, y2 >0.   y1 < y2

Пересечение есть, значит, корня четыре.