Question

3. Пользователь выбирает три различные цифры, а компьютер выписывает все трехзначные числа, которые можно из них составить. Может ли среди выписанных чисел оказаться: (а) ровно
1 чётное; (б) ровно 2 чётных; (в) ровно 3 чётных; (г) ровно 4 чётных; (д) ровно 5 чётных?

Answer 1

Не совсем понятно, могут ли повторяться цифры в числах компьютера.

Предположим, что цифры в числах повторяться могут. Если нами была выбрана хотя бы одна четная цифра, то всего четных чисел будет не меньше $3\cdot3=9$, так как на первых двух местах могут находиться любые цифры. Тогда, ответы на все вопросы задачи отрицательные.

Рассмотрим вариант, когда цифры в числах повторяться не могут.

Если нами была выбрана только одна четная цифра, то всего четных чисел мы можем составить 2 (четную цифру ставим на последнее место, двумя способами можно разместить оставшиеся цифры на первых двух местах).

Если нами были выбраны только две четные цифры, то двумя способами мы можем выбрать и поставить любую из них на последнее место, а еще двумя способами мы можем разместить оставшиеся две цифры на первых двух местах. Итого $2\cdot2=4$ четных числа мы можем получить в этом случае.

Если нами были выбраны три четные цифры, то мы их можем переставлять любыми способами и в результате все равно получится четное число. Число перестановок для трех цифр дает $3!=3\cdot2\cdot1=6$ четных чисел в этом случае.

Итак, мы можем получить ровно 2 чётных или ровно 4 чётных числа.