Question

Помогите пожалуйста решить неравенство

Answer 1

$ODZ: \ 3-x>0 \ \Rightarrow \ x<3\\\\(3-x)^{\frac{3x-5}{3-x} }<1\\\\(3-x)^{\frac{3x-5}{3-x} }-(3-x)^{0}<0\\\\(3-x-1)(\frac{3x-5}{3-x} -0)<0\\\\(2-x)\cdot\frac{3x-5}{3-x} <0\\\\(x-2)(x-1\frac{2}{3})(x-3)<0$

    -            +            -             +

_____₀______₀______₀______

        1 2/3         2            3

////////////            //////////////

Ответ : x ∈ (- ∞ ; 1 2/3 ) ∪ (2 ; 3)

При решении был применён тот факт , что :

$a^{f(x)} -a^{g(x)} <0 \ \Rightarrow \ (a-1)\cdot[f(x)-g(x)]<0$

Answer 2

Задание. Решить неравенство: $(3-x)^{\tfrac{3x-5}{3-x} } < 1.$

Решение. 1. Запишем область допустимых значений (далее ОДЗ) для данного неравенства:

$\displaystyle \left \{ {{3 - x > 0,} \atop {3 - x \neq 1;}} \right. ~~~~~~ \left \{ {{x < 3,} \atop {x \neq 2.}} \right.$

Таким образом, $x \in (-\infty; ~2) \cup (2; ~ 3).$

С учетом ОДЗ, представим $1$ как $(3 - x)^{0}$ и рассмотрим два случая:

$\text{I}) ~ 3-x>1; ~ x < 2\colon$

$(3-x)^{\tfrac{3x-5}{3-x} } < (3-x)^{0}$

Поскольку $x< 2,$ то основание степени больше единицы и знак неравенства сохраняется:

$\dfrac{3x - 5}{3 - x} < 0. ~~~ (1)$

Неравенство вида $\dfrac{P(x)}{Q(x)} < 0$ равносильно совокупности двух систем: $\displaystyle \left [ {{ \displaystyle \left \{ {{P(x) > 0,} \atop {Q(x)<0,}} \right. } \atop {\displaystyle \left \{ {{P(x)<0,} \atop {Q(x)>0.}} \right. }} \right.$

Для неравенства $(1)$ имеем:

$\displaystyle \left [ {{ \displaystyle \left \{ {{3x - 5 > 0,} \atop {3 - x <0,~}} \right. } \atop {\displaystyle \left \{ {{3x - 5<0,} \atop {3-x>0.~}} \right. }} \right. ~~~ \displaystyle \left [ {{ \displaystyle \left \{ {{x > \dfrac{5}{3} ,} \atop {x>3,}} \right. } \atop {\displaystyle \left \{ {{x<\dfrac{5}{3} ,} \atop {x<3.}} \right. }} \right. ~~~~~ \left [ {{x \in \left(-\infty; ~ \dfrac{5}{3}\right) } \atop {x \in (3; ~ {+\infty})~~~}} \right.$

Итог: $x \in \left(-\infty; ~ \dfrac{5}{3} \right) \cup (3; ~ {+\infty}).$

Учитывая ОДЗ, имеем: $x \in \left(-\infty; ~ \dfrac{5}{3} \right).$

$\text{II}) ~ 0<3-x<1; ~~~ 2<x<3\colon$

$(3-x)^{\tfrac{3x-5}{3-x} } < (3-x)^{0}$

Поскольку $2<x<3,$ то основание степени меньше единицы, но больше нуля, и знак неравенства должен изменится на противоположный:

$\dfrac{3x - 5}{3 - x} > 0. ~~~ (2)$

Неравенство вида $\dfrac{P(x)}{Q(x)} > 0$ равносильно совокупности двух систем: $\displaystyle \left [ {{ \displaystyle \left \{ {{P(x) > 0,} \atop {Q(x)>0,}} \right. } \atop {\displaystyle \left \{ {{P(x)<0,} \atop {Q(x)<0.}} \right. }} \right.$

Для неравенства $(2)$ имеем:

$\displaystyle \left [ {{ \displaystyle \left \{ {{3x - 5 > 0,} \atop {3 - x >0,~}} \right. } \atop {\displaystyle \left \{ {{3x - 5<0,} \atop {3-x<0.~}} \right. }} \right. ~~~ \displaystyle \left [ {{ \displaystyle \left \{ {{x > \dfrac{5}{3} ,} \atop {x<3,}} \right. } \atop {\displaystyle \left \{ {{x<\dfrac{5}{3} ,} \atop {x>3.}} \right. }} \right. ~~~~~ \left [ {{x \in \left(\dfrac{5}{3}; ~ 3\right) } \atop {x \in \varnothing ~~~~~~~~}} \right.$

Итог: $x \in \left(\dfrac{5}{3}; ~ 3\right).$

Учитывая ОДЗ, имеем: $x \in \left(2; ~ 3\right).$

Объединяем решения двух случаев и получаем ответ:

$x \in \left(-\infty; ~ \dfrac{5}{3} \right) \cup (2; ~ 3).$

2. Рассмотрим отрицательное основание степени. Его можно рассматривать на множестве целого показателя.

Пусть $\dfrac{3x - 5}{3 - x} = n, \ n \in Z.$

Выразим $x$ через $n \colon$

$3x - 5= n(3 - x), \ n \in Z$

$3x - 5= 3n - nx, \ n \in Z$

$nx + 3x= 3n + 5, \ n \in Z$

$x(n + 3)= 3n + 5, \ n \in Z$

$x= \dfrac{3n + 5}{n + 3} , \ n \in Z$

Исключим $x = \dfrac{5}{3} \colon$

$\dfrac{5}{3} = \dfrac{3n + 5}{n + 3}; ~~~ n = 0.$

Исключим $x = 2 \colon$

$2 = \dfrac{3n + 5}{n + 3}; ~~~ n = 1.$

Исключим $x = 3 \colon$

$3 = \dfrac{3n + 5}{n + 3}; ~~~ n \in \varnothing.$

При $n = -3$ выражение $\dfrac{3n + 5}{n + 3}$ не имеет смысла.

Ответ: $x \in \left(-\infty; ~ \dfrac{5}{3} \right) \cup (2; ~ 3) \cup \left\{\dfrac{3n + 5}{n + 3} \right\}, \ n \in Z \backslash \{0; ~ 1; ~ {-}3\}.$