Question

Докажите, что если (смотреть png)

Answer 1

Пусть a>0, m∈Z, n∈N,  m/n=k∈Z. Отсюда m=nk,

$a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[n]{a^{nk}}=\sqrt[n]{(a^k)^n}=a^{k},$ что и требовалось доказать.

При a=0 рассуждение работает при натуральном m.

При a<0 возможны проблемы, которые и приводят к тому, что возводить в дробную степень разрешается только положительные числа. Дело в том, что возведение в четную степень убирает минус перед числом, и никакое извлечение корня этот минус не вернет.

Например,

$(-1)^{6/2}=\sqrt{(-1)^6}=\sqrt{1}=1,$ а $(-1)^3=-1.$