Question

Вычислить пределы функций:

Answer 1

$1)\ \ \lim\limits_{x \to 4}\, \dfrac{x^2-16}{x^2-5x+4}=\lim\limits_{x \to 4}\, \dfrac{(x-4)(x+4)}{(x-4)(x-1)}=\lim\limits_{x \to 4}\, \dfrac{x+4}{x-1}=\dfrac{4+4}{4-1}=\dfrac{8}{3}$

$2)\ \ \lim\limits_{x \to 0}\, \dfrac{10x^2}{1-cosx}=\lim\limits_{x \to 0}\, \dfrac{10x^2}{2sin^2\dfrac{x}{2}}=\lim\limits_{x \to 0}\, \dfrac{10x^2}{2\cdot \dfrac{x^2}{4}}=\lim\limits_{x \to 0}\, \dfrac{20x^2}{x^2}=20$

$3)\ \ \lim\limits_{x \to \infty }\, \Big(\dfrac{2x-1}{2x+1}\Big)^{x+1}=\lim\limits_{x \to \infty }\, \Big(1+\dfrac{-2}{2x+1}\Big)^{x+1}=\\\\\\=\lim\limits_{x \to \infty }\, \Big(\Big(1+\dfrac{-2}{2x+1}\Big)^{\frac{2x+1}{-2}}\Big)^{\frac{-2(x+1)}{2x+1}}=e^{\lim\limits_{x \to \infty }\, \frac{-2x-2}{2x+1}}=e^{-1}=\dfrac{1}{e}}$