По круговым орбитам вокруг Земли летают два спутника, причем скорость движения V1> первого спутника в два раза больше скорости движения V2 второго. Если радиус орбиты первого спутника равен R1 = 8000 км, то радиус орбиты R2 второго равен
Ответы
Ответ:
дано R1=2*R2
для круговой орбиты
V2=√G*M/R2
V1=√G*M/R1
V2/V1=√R1/R2=√2
V1=V2/√2 ( ответ3)
Дано:
υ₁ = 2*υ₂
R₁ = 8000 км
R₂ - ?
Решение:
Нужно просто взять выражения радиусов орбит спутников и соотнести их друг к другу (простыми словами - поделить один радиус на другой).
Можно сразу брать готовую формулу для скорости υ = √(gR). Но мы выведем её (просто, чтобы не забывать, как получается такое выражение).
На каждый спутник действует сила тяготения Земли:
Fтяг = G*M*m/R², где (G*M/R²) - это ускорение свободного падения
По Второму закону Ньютона она является центростремительной силой:
Fтяг = F_ц.с.
Fтяг = m*a_ц.с.
G*M*m/R² = m*a_ц.с., где a_ц.с. = υ²/R =>
G*M*m/R² = mυ²/R | * (R/m)
G*M/R = υ²
Выражение слева мы можем записать вот так:
G*M/R = G*M*R/R² = (G*M/R²)*R = g*R =>
=> υ² = gR => υ = √(gR)
Мы получили выражение скорости спутника. Теперь для каждого спутника скорость будет равна:
υ₁ = √(g₁R₁) => υ₁² = g₁R₁
υ₂ = √(g₂R₂) => υ₂² = g₂R₂
Выражаем радиусы:
R₁ = υ₁²/g₁
R₂ = υ₂²/g₂
Соотносим их:
R₁/R₂ = (υ₁²/g₁) / (υ₂²/g₂) = (υ₁²/g₁) * (g₂/υ₂²) = υ₁²*g₂/(υ₂²*g₁)
Выражаем R₂:
R₂ = R₁ / [υ₁²*g₂/(υ₂²*g₁)] = R₁*(υ₂²*g₁)/(υ₁²*g₂)
Подставляем вместо υ₁ её выражение через υ₂:
R₂ = R₁*(υ₂²*g₁)/((2*υ₂)²*g₂) = R₁*(υ₂²*g₁)/(4*υ₂²*g₂) = R₁*g₁/(4*g₂) = (R₁/4)*(g₁/g₂)
Теперь возвращаемся к выражению для g:
g = G*M/R² =>
=> g₁ = G*M/R₁², g₂ = G*M/R₂² - подставляем в уравнение R₂:
R₂ = (R₁/4)*(g₁/g₂) = (R₁/4)*(G*M/R₁²)/(G*M/R₂²) = (R₁/4)*(G*M/R₁²)*(R₂²/(G*M)) = R₂²/(4R₁)
R₂ = R₂²/(4R₁) | : R₂
1 = R₂/(4R₁)
R₂ = 4R₁ = 4*8000 = 32000 км
Ответ: 32000 км.