Question

Решите уравнение:
$tg^4x+tg^4y+2ctg^2xctg^2y=3+sin^2(x+y)$

Answer 1

${\rm tg}^4x-2{\rm tg}^2x\cdot {\rm tg}^2y+{\rm tg}^4y+2{\rm tg}^2x\cdot{\rm tg}^2y+2{\rm ctg}^2x\cdot{\rm ctg}^2y=3+\sin^2(x+y);$

$({\rm tg}^2x-{\rm tg}^2y)^2+2({\rm tg}\,x\cdot {\rm tg}\,y-{\rm ctg}\, x\cdot {\rm ctg}y)^2+4=3+\sin^2(x+y);$

левая часть есть сумма двух неотрицательных выражений и четверки,  поэтому она не меньше 4, правая часть не больше 4, так как

$\sin^2(x+y)\le 1.$

Вывод: равенство получается тогда и только тогда, когда  выполнены три условия:

1) ${\rm tg}^2x={\rm tg}^2 y;\ {\rm tg}\,x=\pm {\rm tg}\, y;\ x=\pm y+\pi n.$

Если $x+y=\pi n\Rightarrow \sin^2(x+y)=0,$ и левая часть будет больше правой. Поэтому $x=y+\pi n.$

2) ${\rm tg}\, x\cdot {\rm tg}\, y={\rm ctg}\, x\cdot {\rm ctg}\, y;$ а поскольку $x=y+\pi n,$

${\rm tg}^2y={\rm ctg}^2 y;\ {\rm tg}\, y=\pm 1;\ y=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2};\ x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}+\pi n.$

3) $\sin^2(x+y)=1;\ \sin^2(2\cdot\frac{\pi}{4}+2\cdot\frac{\pi k}{2}+\pi n)=1 -$ выполнено.

То, что получившиеся решения лежат в ОДЗ, очевидно.

Ответ: $(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}+\pi n; \frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}); k,n\in Z$