Question

СРОЧНО!!!! ДАЮ 100 БАЛЛОВ!!!
Точки E и F лежат на сторонах BC и CD параллелограмма ABCD соответственно, причём BE:EC=DF:FC=1:2. Отрезки AE и BF пересекаются в точке K. Найдите отношение площади четырёхугольника CEKF к площади треугольника AFK.

Answer 1

Я на чертеже изобразил параллелограмм в виде квадрата, но пусть это никого не вводит в заблуждение - я нигде не пользуюсь этим, применяю только то, что справедливо для любого параллелограмма. (И между прочим, даже если бы я пользовался, получил бы верный ответ :). Но я не пользовался. В конце будет пояснение.)

Пусть площадь параллелограмма S, площадь треугольника AFK = S₂; площадь четырехугольника CEKF = S₁; площадь треугольника KBE S₃;

Очевидно, что площадь треугольника ABE и площадь треугольника AFD равны S/6; а площадь треугольника BCF равна S/3;

(Это все легко увидеть, если вспомнить формулы площади треугольника, скажем, если площадь параллелограмма S = CB*CD*sin(C), то площадь BСF равна CB*CF*sin(C)/2. Так как CF/CD = 2/3, то и получается S/3.)

Поэтому площадь AECF  S - 2*S/6 = 2S/3, то есть

S₁ + S₂ = 2S/3;

S₁ + S₃ = S/3;

Отсюда S₁ = S/3 - S₃; S₂ = S/3 + S₃; S₁/S₂ = (1/3 - z)/(1/3 + z); где z = S₃/S;

то есть для решения надо найти S₃/S;

как я уже говорил, площадь треугольника ABE S/6; так как у ABE и KBE общая сторона BE, достаточно найти отношение высот к ней, то есть расстояний от K до BC и от A до BC, а в силу очевидного подобия это отношение будет равно KE/AE; То есть вся задача упирается в это отношение KE/AE; если оно найдено, то S₃ = (S/6)*(KE/AE); то есть

z = (1/6)*(KE/AE);

Можно конечно найти это отношение, вычерчивая параллельные и исследуя подобие, но есть прямой инструмент, которым я воспользуюсь - это теорема Менелая. Для этого я продолжу DC и AE до пересечения в точке L и буду считать BF секущей треугольника ALD, которая пересекает продолжение AD в точке M.

В таких случаях очень легко запутаться в буквах и отрезках. Поэтому я введу некие обозначения. Пусть FD = x; BE = 2y (двойка для удобства, чтобы дроби не "тащить"); тогда AD = 6y; из подобия FDM и ABM AB = 3x; => DM = 3y; (потому что AM/DM = 3); кроме того, EC = 4y;

из подобия ABE и LCE CL = 6x; заодно полезно заметить CE/AE = 2;

теперь теорема Менелая.

(LF/FD)*(FM/MA)*(AK/KL)=1; (про знак можно забыть - тут это не важно)

(8x/x)*(3y/9y)*(AK/KL)=1; AK/KL = 3/8;

по сути, уже все найдено, но надо аккуратно найти отсюда KE/AE;

LE/AE = 2; AK = AE - KE; KL = LE + KE;

(AE - KE)/(2*AE + KE) = 3/8; если подставить сразу KE = 6z*AE, то

(1 - 6z)/(2 + 6z) = 3/8; z = 1/33; (для справки KE/AE = 2/11; а KE/AK = 2/9)

S₁/S₂ = (1/3 - z)/(1/3 + z) = (1/3 - 1/33)/(1/3 + 1/33)=(1 - 1/11)/(1 + 1/11) = 10/12 = 5/6;

Пара слов, почему я нарисовал квадрат. Я решил проверить результат по формуле Пика S = В + Г/2 - 1; наложив на рисунок квадратную сетку.

Для квадрата 3х3 получилось

для CFKE B = 1; Г = 5; S₁ = 5/2;

для AKF В = 3; Г = 2; S₂ = 3;

S₁/S₂ = 5/6;

Я так обрадовался, что забыл самое главное :) Формула Пика тут не работает, потому что точка K не лежит в узле решетки. На самом деле, можно подобрать такой шаг сетки, при котором K попадет в узел, но такой подбор равносилен вычислению координат точки K- это раз, а во-вторых, при мелком шаге и большом количестве точек формула Пика ничего не дает, кроме трудностей подсчета.