Question

Найдите область значения функции:
$y=\frac{3^{x} }{3^{x}-9 }$

Answer 1

$y=\dfrac{3^x}{3^x-9}$

Выразим из соотношения $3^x$:

$y(3^x-9)=3^x$

$y\cdot 3^x-9y=3^x$

$y\cdot 3^x-3^x=9y$

$(y-1)\cdot 3^x=9y$

$3^x=\dfrac{9y}{y-1}$

Так как показательная функция принимает только положительные значения, то и выражение $\dfrac{9y}{y-1}$ может принимать только положительные значения.

Составим и решим неравенство:

$\dfrac{9y}{y-1}>0$

$\dfrac{y}{y-1}>0$

$y\in(-\infty;\ 0)\cup(1;\ +\infty)$

Таким образом, область значения функции:

$E(y)=(-\infty;\ 0)\cup(1;\ +\infty)$

Ответ: $(-\infty;\ 0)\cup(1;\ +\infty)$