Question

при каких значениях параметра а уравнение a*3^(2x+1)-(6a-4)*3^x+3(a-1)=0 имеет единственный корень?

Answer 1

$a\cdot 3^{2x+1}-(6a-4)\cdot 3^{x}+3(a-1)=0$

$3a\cdot 3^{2x}-(6a-4)\cdot 3^x+3(a-1)=0$

Рассмотрим два случая

1) Если $a=0$, то $4\cdot 3^x-3=0$ откуда $x=\log_3\frac{3}{4}$.

2) Если $a\ne 0$, то данное уравнение равносильно следующему уравнению $3at^2-(6a-4)t+3(a-1)=0$, где $3^x=t$, причём $t>0$

$D=(6a-4)^2-4\cdot 3a\cdot3(a-1)=36a^2-48a+16-36a^2+36a=16-12a$

при $16-12a\geq0$ откуда $a\leq\frac{16}{12}=\frac{4}{3}$ квадратное уравнение имеет корни.

Чтобы данное уравнение имело единственный корень, нужно чтобы корни квадратного уравнения относительно $t$ были разных знаков. По теореме Виета:

$t_1t_2=\frac{3(a-1)}{3a}=\frac{a-1}{a}=1-\frac{1}{a}<0$ ⇒  $-\frac{1}{a}<-1$ откуда $0<a<1$

Если $a=1$, то уравнение имеет корень $x=\log_3\frac{2}{3}$

С учётом того, что при $a=0$ и $a=1$ уравнение имеет единственный корень, то включая значение a = 0 и a = 1 в неравенстве 0 < a < 1, получаем 0 ≤ a ≤ 1.

Если $a=\frac{4}{3}$, то $t=-\frac{-(6a-4)}{2\cdot 3a}=\frac{3a-2}{3a}=\frac{3\cdot\frac{4}{3}-2}{3\cdot\frac{4}{3}}=\frac{1}{2}$, т.е. данное уравнение имеет единственный корень.

Ответ: при a ∈ [0;1] ∪ {4/3}.