Question

Найти значение выражения $(1+tg^{2}\alpha)sin^{2}\alpha+ctg^{2}\alpha$, если $tg\alpha + ctg\alpha = 3$

Answer 1

Решение: $sin^{2} a + cos^{2} a = 1,$ (делим каждое слагаемое на cos²a) ⇒

$1 + tg^{2} a = \frac{1}{cos^{2}a } , \frac{sin^{2}a }{cos^{2} a} = tg^{2} a$ ⇒ исходное выражение равно:

$(1 + tg^{2}a )sin^{2} a + ctg^{2} a = \frac{1}{cos^{2} a} * sin^{2} a + ctg^{2} a = \frac{sin^{2} a}{cos^{2} a} + ctg^{2} a =$

$tg^{2} a + ctg^{2} a$, однако (tga + ctga)² = 3² = tg²a + 2tga·ctga + ctg²a =

// tga·ctga = 1 // = tg²a + ctg²a + 2 = 9 ⇒ tg²a + ctg²a = 9 – 2 = 7

Ответ: $(1 + tg^{2}a )sin^{2}a + ctg^{2} a$ = 7