Question

Нужна помощь с уравнениями!!!

Answer 1

7. Решите уравнение $|x-3|+2|x+1|=4.$

Решение. Определим нули подмодульных выражений:

$1) ~ x-3 = 0; ~~~ x=3;\\2) ~ x+1 = 0; ~~~ x=-1.$

Раскроем данные модули на трех участках и решим полученные уравнения на этих участках:

$\text{I}) ~ x < -1 \colon$

Если $x < -1,$ то $|x-3| =3-x$ и $|x+1| = -x-1.$ Тогда

$3 - x + 2(-x-1) = 4;$

$3 - x - 2x - 2 = 4;$

$-3x = 3;$

$x = -1.$

В интервал $x < -1$ корень $x = -1$ не входит.

Вывод: нет корней.

$\text{II}) ~ {-}1 \leq x \leq 3 \colon$

Если ${-}1 \leq x \leq 3,$ то $|x-3| =3-x$ и $|x+1| = x+1.$ Тогда

$3 - x + 2(x+1) = 4;$

$3 - x + 2x + 2 = 4;$

$x = -1.$

В интервал ${-}1 \leq x \leq 3$ корень $x = -1$ входит.

Вывод: $x = -1.$

$\text{III}) ~ x > 3 \colon$

Если $x >3,$ то $|x-3| =x-3$ и $|x+1| = x+1.$ Тогда

$x-3 + 2(x+1) = 4;$

$x - 3 + 2x + 2 = 4;$

$3x = 5;$

$x = \dfrac{5}{3}.$

В интервал $x >3$ корень $x = \dfrac{5}{3}$ не входит.

Вывод: нет корней.

Ответ: $x = -1.$

9. Решите уравнение $\dfrac{1}{|x-3|} - \dfrac{1}{|x-5|} = \dfrac{1}{2}.$

Решение. Определим нули подмодульных выражений:

$1) ~ x-3 = 0; ~~~ x=3;\\2) ~ x-5 = 0; ~~~ x=5.$

Раскроем данные модули на трех участках и решим полученные уравнения на этих участках:

$\text{I}) ~ x < 3 \colon$

Если $x < 3,$ то $|x-3| =3-x$ и $|x-5| = 5-x.$ Тогда

$\dfrac{1}{3-x} - \dfrac{1}{5-x} = \dfrac{1}{2} ~~~ | \cdot 2(3-x)(5-x)$

$2(5-x) - 2(3-x) = (3-x)(5-x);$

$10 - 2x - 6 + 2x = x^{2} - 8x + 15;$

$x^{2} - 8x + 11 = 0;$

$D = (-8)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 64 - 44 = 20$

$\sqrt{D} = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5}.$

$x_{1,2} = \dfrac{8 \pm 2\sqrt{5}}{2} = \dfrac{2(4\pm \sqrt{5})}{2} = 4 \pm \sqrt{5}.$

Оценим корни:

$1) ~ 4 - \sqrt{5} ~ \vee ~ 3 ~~~ |{-}4;\\{-}\sqrt{5} ~ \vee ~ {-}1;\\{-}\sqrt{5} < {-}\sqrt{1}.$

Значит, $4 - \sqrt{5} < 3$ — подходит.

$2) ~ 4 + \sqrt{5} ~ \vee ~ 3 ~~~ |{-}4;\\ \sqrt{5} ~ \vee ~ {-}1;\\ \sqrt{5} > {-}\sqrt{1}.$

Значит, $4 + \sqrt{5} > 3$ — не подходит.

Вывод: $x = 4 - \sqrt{5}.$

$\text{II}) ~ 3 < x < 5 \colon$

Если $3 < x < 5,$ то $|x-3| =x-3$ и $|x-5| = 5-x.$ Тогда

$\dfrac{1}{x-3} - \dfrac{1}{5-x} = \dfrac{1}{2} ~~~ | \cdot 2(x-3)(5-x)$

$2(5-x) - 2(x-3) = (x-3)(5-x);$

$10 - 2x - 2x + 6 = -x^{2} + 8x - 15;$

$x^{2} - 12x + 31 = 0;$

$D = (-12)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 31 = 144 - 124 = 20$

$\sqrt{D} = 2\sqrt{5}.$

$x_{1,2} = \dfrac{12 \pm 2\sqrt{5}}{2} = \dfrac{2(6\pm \sqrt{5})}{2} = 6 \pm \sqrt{5}.$

Оценим корни:

$1) ~ 3 ~ \vee ~ 6 - \sqrt{5} ~ \vee ~ 5 ~~~ |{-}6\\{-}3 ~ \vee ~ {-}\sqrt{5} ~ \vee ~ {-}1\\{-}\sqrt{9} < {-}\sqrt{5} < {-}\sqrt{1}$

Значит, $3 < 6 - \sqrt{5} < 5$ — подходит.

$2) ~ 3 ~ \vee ~ 6 + \sqrt{5} ~ \vee ~ 5 ~~~ |{-}6\\{-}3 ~ \vee ~ \sqrt{5} ~ \vee ~ {-}1\\\left \{ {\bigg{\sqrt{5} > {-3},} \atop \bigg{\sqrt{5} > {-1}.}} \right.$

Значит, $\left \{ {\bigg{6 + \sqrt{5} > 3,} \atop \bigg{6 + \sqrt{5} > 5.}} \right$ — не подходит.

Вывод: $x = 6 - \sqrt{5}.$

$\text{III}) ~ x > 5 \colon$

Если $x < 5,$ то $|x-3| =x-3$ и $|x-5| = x-5.$ Тогда

$\dfrac{1}{x-3} - \dfrac{1}{x-5} = \dfrac{1}{2} ~~~ | \cdot 2(x-3)(x-5)$

$2(x-5) - 2(x-3) = (x-3)(x-5);$

$2x-10 - 2x+6 = x^{2} - 8x + 15;$

$x^{2} - 8x + 19 = 0;$

$D = (-8)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 19 = -12< 0$

Нет действительных корней.

Ответ: $x_{1} = 4 - \sqrt{5}; ~ x_{2} = 6 - \sqrt{5}.$

10. Решите уравнение $\dfrac{|x+2|}{|x+1| - 1} = 1.$

Решение. Определим нули подмодульных выражений:

$1) ~ x+2 = 0; ~~~ x=-2;\\2) ~ x+1 = 0; ~~~ x=-1.$

Раскроем данные модули на трех участках и решим полученные уравнения на этих участках:

$\text{I}) ~ x < {-}2 \colon$

Если $x < -2,$ то $|x+2| =-x-2$ и $|x+1| = -x-1.$ Тогда

$\dfrac{-x-2}{-x-1- 1} = 1;$

$\dfrac{-x-2}{-x-2} = 1;$

$1 = 1$ — правда.

Вывод: $x \in (-\infty; ~ {-2}).$

$\text{II}) ~ {-2}< x < {-1} \colon$

Если ${-2}< x < {-1},$ то $|x+2| =x+2$ и $|x+1| = -x-1.$ Тогда

$\dfrac{x+2}{-x-1- 1} = 1;$

$\dfrac{x+2}{-x-2} = 1;$

$\dfrac{x+2}{-(x+2)} = 1;$

$-1 = 1$ — ложь.

Вывод: нет корней.

$\text{III}) ~ x > {-}1 \colon$

Если $x > -1,$ то $|x+2| =x+2$ и $|x+1| = x+1.$ Тогда

$\dfrac{x+2}{x+1- 1} = 1;$

$\dfrac{x+2}{x} = 1;$

ОДЗ: $x \neq 0.$

$x + 2 = x;$

$0 = 2$ — ложь.

Вывод: нет корней.

Ответ: $x \in (-\infty; ~ {-2}).$