Question

вычислите интегралы .........................................

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \int\limits^7_0\, (x+1)^{-\frac{2}{3}}\, dx=\int\limits^7_0\, (x+1)^{-\frac{2}{3}}\, d(x+1)=\frac{(x+1)^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}}+C=3\, (x+1)^{\frac{1}{3}}+C=\\\\\\=3\cdot \sqrt[3]{x+1}+C$

Answer 2

Сначала найдём неопределённый интеграл. Пусть x+1=y :

$\int \: y^{ - \frac{2}{3} }dy= 3 \sqrt[3]{y} = 3 \sqrt[3]{x + 1}$

По формуле Ньютона-Лейбница:

$\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx} = F(b)－F(a)$

следовательно:

$\int\limits_{0}^{7}{ {(x + 1)}^{ - \frac{2}{3}} dx} = 3 \sqrt[3]{8} －3 \sqrt[3]{1} = 6-3=3$