помогите решить пожалуйста
Ответы
Ответ:
4) 2²·3·5·7·11·A; 2·3²·5·7·11·A; 2·3·5²·7·11·A; 2·3·5·7²·11·A; 2·3·5·7·11²·A
5) нет
Пошаговое объяснение:
4) A-любое целое число
5)a²=(2n+1)²+(2k+1)²=4(n²+n+k²+k)+2
Значит, число а² делится на 2 и не делится на 4. Что невозможно, так как 2 число простое.
2|a²⇒2|a⇒4|a²
6) Докажем, что xyz делится на 3. Для этого достаточно доказать, что по крайней мере одно из трёх чисел x, y, z кратно трём. Пусть это не так. x=3m±1, y=3n±1, z=3k±1
x²+y²=z²
(3m±1)²+(3n±1)²=(3k±1)²
9m²±6m+1+9n²±6n+1=9k²±6k+1
3(3m²±2m+3n²±2n)+1=3(3k²±2k)
Правая часть данного равенства делится на 3, а левая нет. Что невозможно. Пришли к противоречию. Значит по крайней мере одно из чисел x, y, z должно делится на три. Из чего следует делимость на три числа xyz
Докажем, что xyz делится на 5
Пусть xyz не делится на 5. Тогда ни одно из чисел x, y, z не делится на 5
а≡0(mod 5)⇒a²≡0(mod 5)
а≡(±1)(mod 5)⇒a²≡(±1)²≡1(mod 5)
а≡(±2)(mod 5)⇒a²≡(±2)²≡4≡-1(mod 5)
Значит, если ни одно из чисел x, y, z не делится на 5, то должно выполнится равенство
x²+y²-z²≡±1±1±1≡0(mod 5)
А это не возможно.
Докажем, что xyz делится на 4
Если среди чисел x, y, z по крайней мере два четных, или есть одно делящееся на 4 тогда xyz делится на 4. Пусть их будет не более одного и это чётное число не делится на 4.
То что в равенстве x²+y²=z² все три числа x, y, z не могут быть нечетными очевидно.
Остается рассмотреть случай того что среди чисел x, y, z только одно чётное не делящееся на 4
а) Случай x, y- нечётные, z-чётное рассмотрен в задании №4
б) Числа x, y разной чётности, z-нечётное
(2n+1)²+(2m)²=(2k+1)², m-не делится на 2
m²=k²+k-n²-n=(k-n)(k-n+1)
Но числа (k-n) и (k-n+1) разной чётности. Значит одно из них чётно.
Тогда и число m² чётно⇒m-чётное.
Получили противоречие.
Значит xyz делится на 4