Question

Помогите пожалуйста!! 18 задача, параметр​

Answer 1

$(4^{x} -3*2^x + 3a-a^2)*\sqrt{2-x} =0\\\\((2^{x})^2 -3*2^x + 3a-a^2)*\sqrt{2-x} =0$

ОДЗ :

2 - x >= 0

x <= 2

$[(2^{x})^2 -3*2^x + 3a-a^2 = 0$

$[\sqrt{2-x} = 0$ <=> x = 0

Решим первое уравнение относительно 2^x, заменяя его на t :

$t^2 -3t + 3a-a^2 = 0$

$t^2 -3t + a(3-a) = 0$

Это уравнение очень удобно решить через теорему Виета :

$t_1 + t_2 = -B\\t_1 * t_2 = C$

---

$t_1 + t_2 = 3\\t_1 * t_2 = a(3-a)$

---

$t_1 = a\\t_2 = 3-a$

Обратная замена :

$[2^x = a$

$[2^x = 3-a$

Зная ОДЗ (x<= 2), давайте оценим выражение 2^x (учитывая, что функция 2^x увеличивается на всей числовой прямой, то есть чем больше x тем больше 2^x и наоборот)

0 < 2^x <= 2^2

0 < 2^x <= 4

То есть уравнение вида 2^x = b будет иметь корень, если b ∈ (0; 4]

Теперь рассмотрим 5 случая :

1 случай.

2^x = a - имеет корень

2^x = 3-a - не имеет корней

----

{ a ∈ (0 ; 4]

{3 - a <= 0  <=> a ∈ [3 ; + ∞)

Общее : a ∈ [3; 4]

и

{ a ∈ (0 ; 4]

3 - a > 4  <=> a ∈ (-∞ ; -1)

Общее : a ∈ ∅

2 случай.

2^x = a - не имеет корней

2^x = 3-a - имеет корень

----

{0< 3 - a <= 4  <=>  a ∈ [-1; 3)

a <= 0 <=> a ∈ (-∞ ; 0]

Общее : a ∈ [-1; 0]

и

{0< 3 - a <= 4  <=>  a ∈ [-1; 3)

a > 4 <=> a ∈ [4 ; +∞)

Общее : a ∈ ∅

3 случай.

2^x = a имеет корень 2

2^x = 3 - a   имеет корень, отличный от 2

2^2 = a

a = 4

Проверка для второго ;

2^x = 3-4 = -1 не имеет корней, значит не подходит

4 случай.

2^x = a имеет корень, отличный от 2

2^x = 3 - a   имеет корень 2

2^2 = 3 - a

4 = 3 - a

a = -1

Проверка для первого :

2^x = -1, не имеет корней, значит не подходит

Должен подметить, как я и на писал в первых двух случаях, при моих ответах, один корень будет, а другой нет, но я не учел, что тот корень, который будет может равняться 2, по этому из обьеденения 1 и 2 случая убираем a = -1 и a = 4

5 случай.

2^x = a и 2^x = 3-a - имеет общий корень, отличный от 2 :

a = 3 - a

2a = 3

a = 1.5

Проверим на корень 2:

2^2 = 4 != 1.5 - Правильно и его в ответ

Общее решение и ответ : a ∈ (-1; 0] U {1.5} U [3; 4)