Question

Срочно нужна помощь!
Найти натуральное число n при котором выражение имеет наибольшее значение

Answer 1

Число $n$, при котором достигается наибольшее значение, должно удовлетворять паре неравенств: $\frac{\left(\sqrt{2021}\right)^n}{n!}\geq \frac{\left(\sqrt{2021}\right)^{n-1}}{(n-1)!}$ и $\frac{\left(\sqrt{2021}\right)^n}{n!}\geq \frac{\left(\sqrt{2021}\right)^{n+1}}{(n+1)!}$. Из первого неравенства $\sqrt{2021}\geq n$, из второго $\sqrt{2021}\leq n+1$, откуда $n\leq \sqrt{2021}\leq n+1$, следовательно, $n=44$.

При этом наибольшее значение существует: сначала показательная функция больше факториала, однако при достаточно больших значениях (а именно при $n>44$) факториал перегоняет, и значения выражения уменьшаются.