Question

Найдите количество всех трехзначных натуральных чисел, в десятичной записи которых цифры справа налево строго убывают.

Answer 1

Для начала заметим, что в числах, удовлетворяющих условию, не может использоваться цифра 0. Действительно, 0 - наименьшая из цифр, поэтому по условию должна оказаться на первом месте. Но если трехзначное число начинается с цифры 0, то фактически оно уже не трехзначное, а хотя бы двузначное.

Итак, в числах используются только цифры от 1 до 9. Чтобы построить такие числа, мы выбираем из 9 цифр некоторые 3, и затем располагаем их в возрастающем порядке. Такой алгоритм дает возможность посчитать их количество. Количество чисел определяется числом способов выбрать из 9 цифр некоторые 3 без учета порядка. Это в свою очередь соответствует числу сочетаний из 9 элементов по 3:

$C_9^3=\dfrac{9!}{3!\cdot(9-3)!} =\dfrac{9\cdot8\cdot7}{1\cdot2\cdot3} =84$

Ответ: 84