Пусть `a, b, c` – различные положительные целые числа такие, что `b+c-a, c+a-b, a+b-c` – все полные квадраты. Какое наибольшее возможное значение может принимать `a+b+c`, если оно меньше 100?
Ответы
Ответ:
91, при:
a = 45
b = 41
c =5
Пошаговое объяснение:
По условию:
b+c-a = z^2
c+a-b = y^2
a+b-c = x^2
a>b>c
x,y,z- натуральные числа.
x>y>z
Откуда:
x^2 + y^2 + z^2 = (b+c-a) + (c+a-b) + (a+b-c) = a+b+c
При этом сумма любых двух из чисел x,y,z - четна:
(b+c-a) + (a+b-c) = 2b и тд.
Это возможно только когда все числа x,y,z одновременно являются четными или нечетными.
Предположим, что x,y,z - четны:
Тогда, если x<8, то
(x^2 + y^2 + z^2)max = 6^2 + 4^2 + 2^2 = 56 < 8^2 + 2^2 + 4^2 = 84 < 100
Но тогда, максимум будет достигнут при x = 8, ибо следующее число 10^2 = 100
8^2 + y^2 + z^2 < 100
Пусть y = 6, но тогда 8^2 + 6^2 + z^2 >100 , не подходит
Тогда:
y = 4
z = 2
max(x^2+y^2+z^2) = 8^2 + 4^2 + 2^2 = 64 + 16 + 4 = 84
Предположим, что x,y,z - нечетны.
Тогда, если x<9
max(x^2+y^2+z^2) = 7^2 + 5^2 + 3^2 = 83 < 9^2 + 1^2 + 3^2 = 91
Тогда максимум достигается при a = 9, ибо 11^2 > 100.
9^2 + y^2 + z^2 <100
Пусть y>=5, но тогда 9^2 + y^2 + z^2 >= 9^2 + 5^2 >100
Тогда:
max(x^2+y^2 + z^2) = 9^2 + 3^2 + 1^2 = 91
91 >84
Тогда для произвольных по четности x,y,z:
max(a+b+c) = max(x^2 + y^2 + z^2) = 91
a = (9^2 + 3^2)/2 = 45
b = (9^2 + 1^2)/2 = 41
c = (3^2+1^2)/2 = 5