Question

Найдите наибольшее значение функции . Напоминаю , что нужна не только оценка , но и указание значения аргумента , при котором эта оценка достигается :

y = sinx · cos4x + cosx · cos8x + cos( x + π/4)

Answer 1

По неравенсту Коши-Буняковского

y=sinx*cos4x+cosx*cos8x+cos(x+pi/4) <= sinx*cos4x+cosx*cos8x+1 <= √(sin^2x+cos^2x)(cos^2(4x)+cos^2(8x))+1 = √(cos^2(4x)+cos^2(8x))+1  

но  cos^2(a)+cos^2(2a) = cos^2(a)+(2cos^2(a)-1)^2 = b+(2b-1)^2 = 4b^2-3b+1  

это парабола ветви корой направлены вверх, и строго возрастает, значит при b=1, y(max) = 2

то есть  y(max)=√2+1 выполняется при x=-pi/4