Question

Решите второе уравнение:
$(5+\frac{3}{sin^2x} )(2-sin^6x)=7+cos2y$

Answer 1

Ответ:

$x=\pm\dfrac{\pi}{2}+2\pi n, n\in Z;\;y=\pi k,k\in Z$

Объяснение:

1)  $|sin(x)|\leq 1\Rightarrow sin^2(x)\leq 1\Rightarrow \dfrac{1}{sin^2(x)}\geq 1 \Rightarrow 5+\dfrac{3}{sin^2(x)}\geq 5+3=8$

2) $|sin(x)|\leq 1\Rightarrow sin^6(x)\leq 1\Rightarrow 2-sin^6(x)\geq 2-1=1$

Значит, левая часть уравнения не меньше $8*1=8$

3) $cos(2y)\leq 1\Rightarrow 7+cos(2y)\leq 7+1=8$

То есть правая часть не больше 8.

Но тогда уравнение равносильно системе

$\left\{\begin{array}{c}\left(5+\dfrac{3}{sin^2x}\right)\left(2-sin^6x\right)=8\;\;\;(1)\\ 7+cos2y=8\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)\end{array}\right.$

В силу пунктов 1) и 2) уравнение (1) в свою очередь равносильно системе

$\left\{\begin{array}{c}5+\dfrac{3}{sin^2x}=8\\ 2-sin^6x=1\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}\dfrac{1}{sin^2x}=1\\ sin^6x=1\end{array}\right. \Leftrightarrow sin^2x=1\Leftrightarrow sinx=\pm1 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow x=\pm\dfrac{\pi}{2}+2\pi n, n\in Z$

Решая (2), получим:

$cos2y=1 \Leftrightarrow 2y=2\pi k,k\in Z\Leftrightarrow y=\pi k,k\in Z$

Answer 2

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$\left(5+\dfrac{3}{\sin^2x}\right)\left(2-\sin^6x\right)=7+\cos2y$

Наименьшее значение, которое может принимать левая часть рано 8.

Наибольшее значение, которое может принимать правая часть равно 8.

Значит исходное равенство становится верным, если имеем $8=8$.

Тогда перейдем к системе уравнений:

$\left\{\begin{array}{c}\left(5+\dfrac{3}{\sin^2x}\right)\left(2-\sin^6x\right)=8\\7+\cos2y=8\end{array}\right;$

Понятно, что вторая ее строчка решается несложно:

$7+\cos2y=8\\\cos2y=1\\y=k\pi,\;k\in \mathbb{Z}$

Поработаем теперь с первой:

$\left(5+\dfrac{3}{\sin^2x}\right)\left(2-\sin^6x\right)=8$

Введем замену вида $t=\sin^2x,\;0\le t\le 1$.

Тогда уравнение выше можно переписать:

$5t^4+3t^3-2t-6=0\\(t-1)(5t^3+8t^2+8t+6)=0$

Один из корней очевиден и равен $t=1$.

Понятно, что при $t\ge0$ уравнение $5t^3+8t^2+8t+6=0$ не имеет корней.

Выполним теперь обратную замену:

$\sin^2x=1\\\cos2x=-1\\\\x=\dfrac{\pi}{2}+n\pi,\;n\in\mathbb{Z}$

Тогда ответом будет:

$\left\{\begin{array}{c}x=\dfrac{\pi}{2}+n\pi,\;n\in\mathbb{Z}\\y=k\pi,\;k\in\mathbb{Z}\end{array}\right;$

Задание выполнено!