Question

Решить уравнение
$\sqrt{2+x}+\sqrt{2-x}=x^2-2$

Answer 1

$\sqrt{2 + x} + \sqrt{2 - x} = {x}^{2} - 2$

Напишем ОДЗ:

$\left\{ \begin{aligned} 2 + x \geqslant 0 \\ 2 - x \geqslant 0 \end{aligned} \right. \\ \left\{ \begin{aligned} x \geqslant - 2 \\ x \leqslant 2 \end{aligned} \right.$

$( \sqrt{2 + x} + \sqrt{2 - x} ) {}^{2} = ( {x}^{2} - 2) {}^{2} \\ 2 + x + 2 - x + \sqrt{(2 + x)(2 - x)} = ( {x}^{2} - 2) {}^{2} \\ 4 + \sqrt{4 - {x}^{2} } = ({x}^{2} - 2) {}^{2} \\ \sqrt{ - ( {x}^{2} - 4) } + 4 = ( {x}^{2} - 4 + 2) {}^{2}$

Замена:

${x}^{2} - 4 = t, \: t \geqslant - 4$

$\sqrt{ - t} + 4 = (t + 2) {}^{2} \\ \sqrt{ - t} = (t + 2) {}^{2} - 4$

Для существования правая часть должна быть неотрицательна, т.к. слева радикал:

$(t + 2) {}^{2} - 4 \geqslant 0 \\ (t + 2) {}^{2} \geqslant 4 \\ |t + 2| \geqslant 2 \\ \left[ \begin{gathered} t + 2 \geqslant 2 \\ t + 2 \leqslant - 2 \end{gathered} \right. \\ \left[ \begin{gathered} t \geqslant 0 \\ t \leqslant - 4 \end{gathered} \right.$

В замене мы наложили ограничение на t ≥ -4, поэтому с учётом вышеизложенного следует, что t принимает такие значения:

$t \in [0; + \infty ) \cup \{ - 4 \}$

Проверим t = -4:

${x}^{2} - 4 = - 4 \\ {x}^{2} = 0 \\ x = 0$

Подставим в исходное уравнение:

$\sqrt{2 + 0} + \sqrt{2 - 0} = {0}^{2} - 2 \\ \sqrt{2} + \sqrt{2} = - 2$

Получили ложное равенство, а значит x = 0 не есть решением, следовательно t ≠ -4.

Проверяем t ≥ 0:

${x}^{2} - 4 \geqslant 0 \\ (x - 2)(x + 2) \geqslant 0 \\ \left[ \begin{gathered} x \geqslant 2 \\ x \leqslant - 2 \end{gathered} \right.$

В ОДЗ мы получили такую систему:

$\left\{ \begin{aligned} x \geqslant - 2 \\ x \leqslant 2 \end{aligned} \right.$

А значит, объединяя с полученной совокупностью получаем систему:

$\left\{ \begin{aligned} x = - 2 \\ x = 2 \end{aligned} \right.$

Ответ: -2, 2.

Answer 2

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$\sqrt{2+x}+\sqrt{2-x}=x^2-2$

Выполним возведение в квадрат:

$\left(\sqrt{2+x}+\sqrt{2-x}\right)^2=\left(x^2-2\right)^2$

Преобразуем полученное:

$2\sqrt{4-x^2}-x^4+4x^2=0\\x^2(4-x^2)+2\sqrt{4-x^2}=0\\\sqrt{4-x^2}(x^2\sqrt{4-x^2}+2)=0,\;<=>\;4-x^2=0,\;<=>\;\left[\begin{array}{c}x=2\\x=-2\end{array}\right;$

Подстановкой в исходное уравнение убеждаемся, что оба найденных корня подходят.

Уравнение решено!