Question

В треугольнике АВС : AB = 8 ; AC = 10 ; BC = 6 . D - точка , лежащая на стороне АС . В треугольники ABD и DBC вписаны окружности . Вторая общая касательная к этим окружностям ( отличная от АС ) пересекает отрезок BD в точке L . Найти длину отрезка BL

Answer 1

1) Я долго сомневался, как лучше сделать, и все-таки решил не выводить здесь известные свойства внешних и внутренних касательных к двум окружностям. Просто перечислю то, что нужно знать для решения этой задачи. Найдите в учебниках или докажите сами.

LD = NP = KQ;

кроме того, равны и "кусочки" этих отрезков:

LN = LW = DZ = DQ; DK = DW = LZ = LP;

(некоторые, я в том числе, испытывают серьезные трудности восприятия этих равенств, когда впервые с ними сталкиваются, особенно с учетом того, как просто они получаются)

2) BZ = BF = BL + LZ = BL + DK; аналогично BT = BW = BL + DQ;

=> BL + DK + BL + DQ + CT + AF + AC = 2p; (как всегда, p - полупериметр ABC)

CT + AF = AC - QK;

=> 2*BL + QK + 2*AC - QK = 2p;

=> BL = p - AC = (AB + BC - AC)/2 = 2; это в точности равно радиусу вписанной в ABC окружности.