Question

ПОМОГИТЕ ЗАДАЧА С ПАРАМЕТРОМ

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

$\left\{\begin{array}{c}ax-by=1\\bx+ay=2\end{array}\right;$

Заметим, что система всегда имеет единственное решение, кроме случая, когда $a=b=0$ (тогда решений нет).

Покажем это:

$\dfrac{a}{b}\ne-\dfrac{b}{a},\;<=>\;a^2\ne-b^2$

Теперь будем решать эту систему как обычную, то есть выражать x и y через a и b:

$by=ax-1,\;=>\;y=\dfrac{ax-1}{b}\\bx+\dfrac{a}{b}(ax-1)=2\\x\left(b+\dfrac{a^2}{b}\right)=2+\dfrac{a}{b}\\x=\dfrac{2b+a}{a^2+b^2}$

Так как мы решаем для случая, когда $a^2+b^2=1$, то $x=2b+a$.

Аналогично получаем, что $y=2a-b$.

Значит $x+y=3a+b$.

По условию должно выполняться $a^2+b^2=1,\;=>\;b=\pm\sqrt{1-a^2}$.

Понятно, что максимальное число мы получим, если будем прибавлять неотрицательное число.

Тогда достаточно рассмотреть случай при $b=\sqrt{1-a^2}$, то есть:

$x+y=3a+\sqrt{1-a^2}$

Введем функцию:

$f(a)=3a+\sqrt{1-a^2}$

Наша задача ее максимизировать, поэтому берем производную:

$f'(a)=3+\dfrac{a}{\sqrt{1-a^2}}$

Приравняв полученное к нулю и убедившись, что имеем дело с точкой максимума, утверждаем равенство $a=\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$.

Находим теперь $f\left(\dfrac{3\sqrt{10}}{10}\right)$:

$f\left(\dfrac{3\sqrt{10}}{10}\right)=3\times\dfrac{3\sqrt{10}}{10}+\sqrt{1-\left(\dfrac{3\sqrt{10}}{10}\right)^2}=\sqrt{10}$.

Итого максимальное значение величины $x+y$ при заданных условия равно $\sqrt{10}$.

Задание выполнено!