Question

Решите уравнение в действительных корнях.
$\sqrt{x-\sqrt{x-...} } =\sqrt{1+\sqrt{1+...} }$

Answer 1

Ответ:    $x=2+\sqrt5\ .$        

$\sqrt{x-\sqrt{x-\sqrt{x-...}}}=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...}}}\\\\\\\star \ \ \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...}}}=A\ \ ,\ A>0\ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \ A^2=1+\underbrace{\sqrt{1+\sqrt{1+...}}}_{A}\ \ ,\\\\A^2=1+A\ ,\ \ \ \ A^2-A-1=0\ \ ,\ \ \ A_{1,2}=\dfrac{1\pm \sqrt{5}}{2}\\\\\\A_1=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}<0\ \ ne\ podxodit\ \ \ ,\ \ \ \ \ A_2=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}>0\ \ \star$

$\sqrt{x-\sqrt{x-\sqrt{x-...}}}=A\ \ ,\ \ A=\dfrac{1+\sqrt5}{2}\\\\\\A^2=x-\underbrace{\sqrt{x-\sqrt{x-...}}}_{A}\ \ \ ,\ \ \ A^2=x-A\ \ ,\ \ \ x=A^2+A\ \ ,\\\\\\x=\Big(\dfrac{1+\sqrt5}{2}\Big)^2+\dfrac{1+\sqrt5}{2}\\\\\\x=\dfrac{6+2\sqrt5}{4}+\dfrac{1+\sqrt5}{2}=\dfrac{6+2\sqrt5+2+2\sqrt5}{4}=\dfrac{8+4\sqrt5}{4}=2+\sqrt5$