Question

Решить уравнение :

(4x -8) · $\sqrt{x^{2} -4x+5} - (x+2) \sqrt{x^{2} +4x +8 } + x - 6 =0$

Answer 1

Ответ:

6

Объяснение:

Ограничения:

$\left\{\begin{matrix} x^2-4x+5\geq 0\\ x^2+4x+8\geq 0 \end{matrix}\right. \ \Rightarrow \ \left\{\begin{matrix} D<0\\ D<0 \end{matrix}\right. \ \Rightarrow \ x \in \mathbb{R}$

Решение:

$(4x-8)\sqrt{x^2-4x+5}-(x+2)\sqrt{x^2+4x+8}+x-6=0 \\ \\ 4(x-2)\sqrt{x^2-4x+5}-(x+2)\sqrt{x^2+4x+8}+x-6=0 \ |:4 \\ \\ (x-2)\sqrt{x^2-4x+5}-\frac{x+2}{2}\frac{\sqrt{x^2+4x+4+4}}{2}+\frac{x-6}{4}=0 \\ \\ (x-2)\sqrt{x^2-4x+4+1}-\frac{x+2}{2}\sqrt{\frac{(x+2)^2+4}{4}}+\frac{x-6}{4}=0 \\ \\ (x-2)\sqrt{(x-2)^2+1}-\frac{x+2}{2}\sqrt{\left(\frac{x+2}{2}\right)^2+1}+\frac{x-6}{4}=0$

Замечаем, что первые два слагаемых имеют общую структуру в виде функции:

$f(t)=t\sqrt{t^2+1}$

Действительно, если вместо t подставить x-2, то

$f(x-2)=(x-2)\sqrt{(x-2)^2+1}$

Аналогично

$f\left(\frac{x+2}{2}\right)= \frac{x+2}{2}\sqrt{\left(\frac{x+2}{2}\right)^2+1}$

Тогда 3-е слагаемое нашего уравнения представим в виде разности двух линейных функций вида: g(t)=at

$g(x-2)=a(x-2)\\ \\g\left(\frac{x+2}{2}\right)= \frac{a(x+2)}{2} \\ \\ g(x-2)-g\left(\frac{x+2}{2}\right)=\frac{x-6}{4} \\ \\ a(x-2)- \frac{a(x+2)}{2}=\frac{x-6}{4} \\ \\ ax-2a-\frac{ax+2a}{2} =\frac{x}{4} -\frac{6}{4} \\ \\ ax-2a-\frac{ax}{2}-a=\frac{x}{4} -\frac{3}{2} \\ \\ \frac{ax}{2} -3a=\frac{x}{4}-\frac{3}{2} \\ \\ a=\frac{1}{2}$

Дополним g(t) к основной функции:

$f(t)=t\sqrt{t^2+1}+\frac{1}{2}t$

Исследуем ее на монотонность с помощью производной

$f'(t)=t'\sqrt{t^2+1}+t(\sqrt{t^2+1})'+\left(\frac{1}{2}t\right)'=\sqrt{t^2+1}+t*\frac{2t}{2\sqrt{t^2+1}} +\frac{1}{2} =\\ \\=\sqrt{t^2+1}+\frac{t^2}{\sqrt{t^2+1}} +\frac{1}{2}$

Заметим, что t²≥0; √(t²+1)>0, при любых действительных t, тогда

$\sqrt{t^2+1}+\frac{t^2}{\sqrt{t^2+1}} +\frac{1}{2}>0$

Значит f'(t)>0, следовательно f(t) - монотонно возрастающая функция на всей числовой оси

Для монотонных функций справедливо:

f(a)=f(b) ⇔ a=b

Перепишем наше уравнение в следующем виде

$(x-2)\sqrt{(x-2)^2+1}-\frac{x+2}{2}\sqrt{\left(\frac{x+2}{2}\right)^2+1}+\frac{x-6}{4}=0 \\ \\ (x-2)\sqrt{(x-2)^2+1}+\frac{1}{2}(x-2)=\frac{x+2}{2}\sqrt{\left(\frac{x+2}{2}\right)^2+1}+\frac{1}{2}* \frac{x+2}{2} \\ \\ f(x-2)=f\left(\frac{x+2}{2}\right) \\ \\ x-2=\frac{x+2}{2} \ |*2 \\ \\ 2x-4=x+2 \\ \\ x=6$