Question

Найти периметр прямоугольного треугольника, если его площадь равна 60, а радиусы вписанной и описанной окружностей относятся к 3:17

Answer 1

Пусть радиус описанной окружности R, а радиус вписанной окружности имеет обозначение r.

Пусть х - коэффициент пропорциональности, тогда r = 3x, R = 17x.

Пусть a,b - катеты треугольника, а с - гипотенуза.

$\displaystyle R=\frac{c}{2} =\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2} =\dfrac{\sqrt{a^2+2ab+b^2-2ab}}{2}=\dfrac{\sqrt{(a+b)^2-4S}}{2}=$

$\displaystyle \frac{\sqrt{(a+b-c+2\cdot\frac{c}{2})^2-4S}}{2}=\frac{\sqrt{(2r+2R)^2-4R}}{2}$

$17x=\dfrac{\sqrt{(2\cdot3x+2\cdot17x)^2-4\cdot60}}{2}$

$1156x^{2}=(6x+34x)^2-240$

$444x^2=240$

$x=\sqrt\dfrac{240}{444}}=\dfrac{2\sqrt{185}}{37}$

Периметр прямоугольного треугольника равен сумме всех его сторон

P = a + b + c = a + b - c + 2c = 2r + 4R = 2*3x + 4*17x = 74x

$P=74\cdot\dfrac{2\sqrt{185}}{37}=4\sqrt{185}$