Question

$\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\la\la\la\la\ddddddddddddddddddddddddddddddddcleverdddddd\ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff\pppppppppppppppppppppppppppppppppppp\dddddd \displaystyle \Large \boldsymbol{}\left \{ {{a\sqrt{a} +b\sqrt{b} =183} \atop {b\sqrt{a}+a\sqrt{b}=182 }} \right. \\\\\\a \ ; b \in \mathbb R \qquad \boldsymbol{\frac{9}{5} (a+b)=?}$

Answer 1

чтобы не возится с корнями сделаем замену

√a = m

√b = n

a = m²

b = n²

a,b >= 0

надо найти 9/5(a + b) = 9/5(m² + n²)

m³ + n³ = 183

m²n + nm² = 182 |*3

------

3m²n + 3nm² = 546

Складываем

m³ + n³ + 3m²n + 3nm² = 183 + 546

(m + n)³ = 729

m + n = 9

----

m²n + nm² = 182

mn(m + n) = 182

9mn = 182

mn = 182/9

m³ + n³ = (m + n)(m² - mn + n²) = 183

9(m² - 182/9 + n²) = 183

m² - 182/9 + n² = 183/9

9m² - 182 + 9n² = 183

9m² + 9n² = 365

m² + n² = 365/9

9/5(a + b) = 9/5(m² + n²) = 9/5*365/9 = 365/5 = 73

ответ 73

Answer 2

Если:

$\sqrt{a} = x \\ \sqrt{b} = y$

то:

${x}^{2} = a \\ {y}^{2} = b$

т.к.

${(m + n)}^{2} = {m}^{2} + {n}^{2} + 2mn$

тогда:

${m}^{2} + {n}^{2} = {(m + n)}^{2} - 2mn$

Вспомним, что:

${(m + n)}^{3} = m^3 + n^3 +3mn(m + n)$

Перепишем систему с учётом замены:

${x}^{3} + {y}^{3} = 183 \\ xy(x + y) = 182$

${(x + y)}^{3} = 729$

$x + y = 9$

тогда:

$xy = \frac{182}{9}$

с учётом замены и преобразований по формулам, данным выше, найти нужно

$\frac{9}{5} ( {(x + y)}^{2} - 2xy)$

подставляем:

$\frac{9}{5} ( {9}^{2} - 2 \times \frac{182}{9} ) = \frac{9}{5} \times \frac{365}{9} = 73$