Три окружности проходят через центры , и друг друга. Первая и третья окружности второй раз пересекаются в точке . Продолжение общей хорды первых двух окружностей пересекает третью в точке , а линия их центров второй раз пересекает первую окружность в точке . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Ответы
Ответ:
∠САВ=165°
Объяснение:
Соединим точки О₁ и А; А и О₃; О₁ и О₃; О₂ и О₃.
Так как три окружности проходят через центры друг друга ⇒их радиусы равны. Пусть радиусы всех окружностей равны R.
1. Рассмотрим Окр. О₁R и Окр. О₂R.
СО₂⊥РО₃ (свойство пересекающихся окружностей)
⇒∠СНВ=90°.
2. Рассмотрим ΔО₁АО₃
О₁А=АО₃=О₃О₁=R
⇒ΔО₁АО₃ - равносторонний.
⇒∠АО₁О₃=60°=∪ АО₃ (центральный)
3. Рассмотрим ΔО₂О₁О₃=равносторонний.
О₁О₃=О₃О₂=О₁О₂=R
⇒∠О₂О₁О₃=60°=∪ О₃О₂ (центральный)
4. ∪ АО₃О₂=∪ АО₃+∪ О₃О₂=60°+60°=120°
5. Рассмотрим Окр. О₁R.
∠О₂СА=120°:2=60° (вписанный)
6. Рассмотрим ΔО₁О₃О₂ равносторонний.
О₃Н⊥РО₃ (п.1)⇒О₃Н-высота, биссектриса (свойство равнобедренного Δ)
⇒∠НО₃О₁=30°=∪ О₁К (центральный)
7. ∠О₁О₃А=60° (ΔО₁АО₃-раввносторонний)
⇒∪ АО₁=∠О₁О₃А=60° (центральный)
8. ∪ КО₁А=∠О₁О₃А+∠КО₃О₁=60°+30°=90°
∠КВА=90°:2=45°(вписанный)
9. Сумма углов четырехугольника равна 360°.
⇒∠САВ=360°-(90°+60°+45°)=165°
