Question

(x+3)^2+16=2|x+3|(|x-6|-|x-2)
помогите решить)

Answer 1

______|______|______|______

          - 3            2           6

$1)x<-3\\\\(x+3)^{2}+16=2\cdot[-(x+3)]\cdot [-x+6+x-2]\\\\(x+3)^{2}+16=(-2x-6)\cdot4\\\\x^{2} +6x+9+16=-8x-24\\\\x^{2} +14x+49=0\\\\(x+7)^{2}=0\\\\x+7=0\\\\\boxed{x=-7}$

$2) \ -3\leq x<2\\\\(x+3)^{2}+16=2\cdot(x+3)\cdot[-(x-6)+(x-2)]\\\\(x+3)^{2}+16=2\cdot(x+3)\cdot(-x+6+x-2)\\\\(x+3)^{2}+16=2\cdot(x+3)\cdot4\\\\x^{2}+6x+9+16=8x+24\\\\x^{2}-2x+1=0\\\\(x-1)^{2} =0\\\\x-1=0\\\\\boxed{x=1}$

$3) \ 2\leq x<6\\\\(x+3)^{2}+16=2\cdot(x+3)\cdot[-(x-6)-(x-2)]\\\\(x+3)^{2}+16=2\cdot(x+3)\cdot(-x+6-x+2)\\\\(x+3)^{2}+16=2\cdot(x+3)\cdot(-2x+8)\\\\x^{2}+6x+9+16=(2x+6)(8-2x)\\\\x^{2}+6x+9+16=16x-4x^{2}+48-12x \\\\5x^{2}+2x -23=0\\\\D=2^{2}-4\cdot 5\cdot (-23)=4+460=464=(4\sqrt{29})^{2} \\\\x_{1} =\dfrac{-2+4\sqrt{29} }{10}=\dfrac{2\sqrt{29}-1 }{5} } <2-neyd\\\\x_{2} =\dfrac{-2-4\sqrt{29} }{10}=\dfrac{-2\sqrt{29}-1 }{5} }-neyd$

$4) \ x\geq6 \\\\(x+3)^{2}+16=2\cdot(x+3)\cdot[x-6-(x-2)]\\\\(x+3)^{2}+16=2\cdot(x+3)\cdot(x-6-x+2)\\\\(x+3)^{2}+16=2\cdot(x+3)\cdot(-4)\\\\x^{2}+6x+9+16=-8x-24\\\\x^{2} +14x+49=0\\\\(x+7)^{2}=0 \\\\x+7=0\\\\x=-7<6-neyd\\\\Otvet: \ \boxed{-7 \ ; \ 1 }$

Answer 2

Ответ:

$x=-7; x=1$

Объяснение:

$(x+3)^2+16=2|x+3|(|x-6|-|x-2|)$  

Выделим в левой части полный квадрат. Для этого прибавим к обеим частям уравнения выражение $(|x-6|-|x-2|)^2$ и перенесем слагаемое $2\cdot |x+3|\cdot (|x-6|-|x-2|)$ в левую часть:

$|x+3|^2-2\cdot |x+3|\cdot (|x-6|-|x-2|)+(|x-6|-|x-2|)^2=(|x-6|-|x-2|)^2-16\\ (|x+3|-(|x-6|-|x-2|))^2=(|x-6|-|x-2|)^2-16\\ (|x+3|-(|x-6|-|x-2|))^2=x^2-12x+36-2(|x-6|\cdot |x-2|)+x^2-4x+4-16\\ (|x+3|-(|x-6|-|x-2|))^2=(2x^2-16x+24)-|2x^2-16x+24|\;\;\:\;\:\;\:\;(1)$

1) $2x^2-16x+24< 0\Leftrightarrow 2< x< 6$

Тогда $(1)$ примет вид

$(|x+3|-(|x-6|-|x-2|))^2=2\cdot (2x^2-16x+24)$

Левая часть неотрицательна. Правая часть, учитывая рассматриваемый интервал, строго отрицательна. Значит, корней на данном интервале нет.

2) $2x^2-16x+24\geq 0$

Возможны 2 случая:

2.1) $x\leq 2$

Тогда $(1)$ примет вид

$(|x+3|-(6-x-2+x))^2=0\\ (|x+3|-4)^2=0\\ |x+3|=4\\ x=1\;\:\;\:\;\:\;\:\;\:\;\:\;\:\;\:x=-7$

Оба корня принадлежат рассматриваемому интервалу, а значит являются корнями исходного уравнения.

2.2) $x\geq 6$

Тогда $(1)$ примет вид

$(x+3-(x-6-x+2))^2=0\\ (x+7)^2=0\\ x+7=0\\ x=-7<6$

То есть корень не принадлежит рассматриваемому интервалу.