Question

СРОЧНО! При каких значениях параметра b площадь фигуры, заданной системы неравенств

Answer 1

Для начала поймём, что вообще представляют собой заданные уравнения системы

$x^2+y^2-2bx\leq 16-b^2,\\[8pt] (x^2-2bx+b^2)+y^2\leq 4^2,\\[8pt](x-b)^2+y^2\leq 4^2$ - это неравенство задаёт круг радиусом $4$ с центром в точке $(b;0)$.

$(x+y-2)^2\leq25,\\[8pt](x+y-2)^2-5^2\leq 0,\\[8pt](x+y-7)(x+y+3)\leq 0,\\[8pt]\left[\begin{array}{@{}l@{}} \left\{\begin{array}{@{}l@{}}x+y-7\leq0\\[5pt]x+y+3\geq 0\end{array}\right.\\[18pt] \left\{\begin{array}{@{}l@{}}x+y-7\geq0\\[5pt]x+y+3\leq 0\end{array}\right. \end{array}\right.\iff\left[\begin{array}{@{}l@{}} \left\{\begin{array}{@{}l@{}}x+y\leq7\\[5pt]x+y\geq -3\end{array}\right.\\[18pt] \varnothing\end{array}\right.\iff\left\{\begin{array}{@{}l@{}}x+y\leq7\\[5pt]x+y\geq -3\end{array}\right.$ - эта система задаёт полоску между прямыми $y=7-x$ и $y=x-3$, включая границы (т.е. сами прямые). (См. приложенную картинку).

Таким образом, в системе оба неравенства задают пересечение указанного круга и указанной полоски.

Площадь круга радиуса $4$ равна $\pi\cdot 4^2=16\pi$.

Отсюда, поскольку границы представляют собой прямые, то, при пересечении ими круга по диаметру получим нужное значение площади фигуры, т.е. половину от полной площади круга. Это можно достичь расположив центр круга в точках, где границы полоски пересекают ось $Ox$.

А именно при $b=-3$ или $b=7$.

Ответ. $b\in\big\{-3;\,7\big\}$