Question

Решить уравнение (продолжение)

Answer 1

Поскольку эта задача уже решалась совсем недавно, позволю себе опустить подробности. Дважды возводя в квадрат (второй раз - уединяя корень), получим уравнение

$P(x)=x^6-12x^5+32x^4-76x^2+48x+16=0.$

Сначала будем искать так называемые парные корни, то есть корни вида $\pm a.$ Такие корни ходят парами, дают в разложении скобку (x²-a^2). Для поиска таких корней надо решать систему из двух уравнений, приравнивая отдельно к нулю сумму четных степеней и сумму нечетных степеней. Доказательство этого факта я оставляю читателю. В нашем случае находим корни $\pm\sqrt{2}.$ Далее ищем кратные корни (они, как известно, ищутся из системы $\left \{ {{P(x)=0} \atop {P'(x)=0}} \right. .$ В результате находится кратный корень 2 кратности 2. После деления остается квадратный трехчлен с конями $4\pm 3\sqrt{2}.$ Работу по выделению истинных корней оставляю читателю. Ответ: $\sqrt{2}.$

На этом разрешите закончить это немного хулиганское решение.

Если кто-нибудь захочет услышать поподробнее про парные корни, составьте самостоятельно многочлен с парными корнями, приравняйте его к нулю и предложите мне решить такое уравнение. В этом случае я все внимание уделю этой теме.