Question

Предлагается любителям сложных заданий:))

Answer 1

Пусть $a+b=c+d=2\xi;\ a=\xi-t;\ b=\xi+t;\ c=\xi-p;\ d=\xi+p.$

Пусть $\{a;\ b\}\not=\{c;\ d\},$ тогда t≠±p; не уменьшая общности, можно считать, что $t>p\ge 0.$ Пусть n=2k+1. Используя бином Ньютона, можем написать

$(a^n+b^n)-(c^n+d^n)=((\xi -t)^n+(\xi+t)^n)-((\xi-p)^n+(\xi+p)^n)=$

$=2(\xi^n+C_n^2\xi^{n-2}t^2+\ldots+C_n^{n-1}\xi t^{n-1})-2(\xi^n+C_n^2\xi^{n-2}p^2+\ldots C_n^{n-1}\xi p^{n-1})=$

$=2\xi(C_n^2\xi^{n-3}(t^2-p^2)+\ldots +C_n^{n-1}(t^{n-1}-p^{n-1})).$

Это выражение может равняться нулю только если $\xi=0,$ а это и означает, что a=-b; c=-d. Утверждение доказано.