Question

Решить сложное задание:

Answer 1

Если a=c, b=d или a=d, b=c, оба равенства выполнены. Остается доказать, что в противном случае (множества из чисел  a и b и чисел c и d не совпадают), если известно, что a+b=c+d, то $a^n+b^n\not= c^n+d^n.$ Да,  n конечно должно быть четным.

Пусть $\frac{a+b}{2}=\frac{c+d}{2}=\xi;$  то есть $\xi -$ общее среднее арифметическое этих пар чисел. При этом $a=\xi-t;\ b=\xi+t;\ c=\xi-p;\ d=\xi+p.$ По предположению t≠±p. Не уменьшая общности, можно предположить, что

$t>p\ge 0.$

Пусть n=2k. Используя бином Ньютона, мы можем написать

$a^n+b^n=(\xi-t)^n+(\xi+t)^n=2(\xi^{2k}+C_{2k}^2\xi^{2k-2}t^2+\ldots+C_{2k}^{2k}\xi^0t^{2k});$

$\lim_{n \to \infty} a_n c^n+d^n=(\xi-p)^n+(\xi+p)^n=2(\xi^{2k}+C_{2k}^2\xi^{2k-2}p^2+\ldots+C_{2k}^{2k}\xi^0p^{2k});$

$(a^n+b^n)-(c^n-d^n)=2C_{n}^2\xi^{n-2}(t^2-p^2)+\ldots+(t^n-p^n)>0.$

Утверждение доказано.