Question

При каком наибольшем значении параметра a уравнение x^3−4x/x−2=a имеет ровно один корень?

Answer 1

$\frac{x^{3} -4x}{x-2}=a$          ОДЗ:  $x-2\neq 0$    =>      $x\neq 2$

$\frac{x(x^{2} -4)}{x-2}=a$

$\frac{x(x^{2} -2^2)}{x-2}=a$

$\frac{x(x-2)(x+2)}{x-2}=a$

$x(x+2)=a$

$x^2+2x=a$

$x^2+2x-a=0$

$D=4-4*1*(-a)=4+4a$

1)  Квадратное уравнение имеет ровно один корень при условии, если дискриминант равен нулю.

$D=0$

$4+4a=0$

$4a=-4$

$a=-4:4$

$a=-1$  

2)  Квадратное уравнение будет иметь тоже один корень при условии, если один из двух корней не удовлетворяет ОДЗ, иначе

в уравнение $x^2+2x=a$  подставим $x=2$.

$a=2^2+2*2$

$a=8$

Из двух значений $a=-1$ и  $a=8$ наибольшим значением будет $a=8$. параметра

Проверка  $a=8$:

$\frac{x^{3} -4x}{x-2}=8$

$\frac{x^{3} -4x}{x-2}-8=0$

$\frac{x^{3} -4x-8x+16}{x-2}=0$

$\frac{x^{3} -12x+16}{x-2}=0$    <=>     $\left \{ {{x^3-12x+16=0} \atop {x-2\neq 0}} \right.$     <=>   $\left \{ {{(x^{3} -4x)-(8x-16)=0} \atop {x\neq 2}} \right.$

$x(x^{2} -4)-8(x-2)=0$

$x(x-2)(x+2)-8(x-2)=0$

$(x-2)(x^{2} +2x-8)=0$

=>    1)  $x-2=0$     =>   $x_1=2$

       2) $x^{2} +2-8=0$

             $x_2=2$    не удовлетворяет ОДЗ.

             $x_3=-4$  

      Т.к.  $x_1=x_2= 2$, не удовлетворяющие ОДЗ., то получается ровно один корень $x=-4$.

Ответ: при $a=8$.